2.基本不等式优质课教案内容

第2课

基本不等式

教学目标：1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2). 2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式. 教学过程设计：

引入：知识点

基本不等式

思考

回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．

答案

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab. 知识梳理

(1)重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)基本不等式

a＋b①定理2：如果a，b＞0，那么2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立

. ②定理2的应用：对两个正实数x，y，

(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；

(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值. 例题讲解：类型一

不等式的证明

例1

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9. 证明

方法一

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋

abcabcbcacab＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c

bacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴a＋b＋c≥9.

方法二

∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111∴a＋b＋c＝(a＋b＋c)a＋b＋c

bcacab＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋c＋c＋1 bacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴a＋b＋c≥9. 跟踪训练1

已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；

证明

(1)∵a，b，c，d，∈R＋，

∴ab＋cd≥2abcd，ac＋bd≥2acbd，

∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号

类型二

利用基本不等式求最值

12例2

(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求x＋y的最小值；

12(2)若x＜0，求f(x)＝x＋3x的最大值．

12124xy12解

(1)x＋y＝x＋y×1＝x＋y(2x＋y)＝4＋y＋x≥4＋24xy11且仅当y＝x，即x＝4，y＝2时，等号成立，

12∴x＋y的最小值是8. 1212(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－－x＋3－x≤－236＝－12，当且仅当－x＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12. 12跟踪训练2

若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A.2

B．2

C．22

D．4 答案

C 12解析

因为a＋b＝ab，所以a＞0，b＞0，

4xyy·x＝4＋4＝8，当

12因为ab＝a＋b≥2 12a×b＝22ab，

所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为22. 类型三

利用基本不等式解决恒成立问题

π1p例3、对于x∈0，2，不等式sin2x＋cos2x≥16恒成立，则p的取值范围为(

) 1p解析

要使sin2x＋cos2x≥16恒成立，必有p＞0. p1p1＋又∵sin2x＋cos2x＝sin2xcos2x·(sin2x＋cos2x) cos2xpsin2x＝1＋p＋sin2x＋cos2x

≥1＋p＋2p＝(p＋1)2，当且仅当psin2x＝cos2x时，等号成立．

∴(p＋1)2≥16，即p＋1≥4，

∴p≥3，∴p≥9. 19跟踪训练3已知x＞0，y＞0且满足x＋y＝6，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围为________．

19x＋y19解析

因为x＞0，y＞0，x＋y＝6×x＋y

y9x11810＋＋＝6xy≥6×(10＋6)＝3. y9x当且仅当x＝y时等号成立，又x＋y＝6，x＞0，y＞0，

39得x＝2，y＝2. 8－∞，所以m的取值范围是. 3达标检测：1．下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则2≥ab；

②若x∈R，则x2＋2＋21＞2；

x2＋21③若x∈R，则x＋1＋2≥2；

x＋1

a＋b④若a，b∈R＋，则2≥ab. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

C 解析

显然①不正确；③正确；

对②，虽然x2＋2＝如a＝1，b＝4. 5．下列说法中，正确的个数是(

) 1①函数y＝x＋x的最小值是2；

π9②函数y＝cos x＋cos xx∈0，2的最小值为6；

1③若正数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为2. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 11解析

当x＞0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，当x＜xx0时，－y＝(－x)＋11≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以－x－x11无解，但x2＋2＋2＞2成立，故②正确；④不正确，x＋2x＋22π9y≤－2，所以①错误；由x∈0，2，得cos x∈(0,1)，所以y＝cos x＋cos x＞10，11所以②错误；由2＝2a＋b≥22ab，得ab≤2，当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立，所以③正确．

1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．

22a＋b2a＋b≤(1)ab≤2. 2a＋b(2)ab≤

2≤

a2＋b22(a，b∈R＋)．

ba(3)a＋b≥2(a，b同号)．

11(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b∈R＋)．

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．