3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案3

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 高二数设计 学组

年级 高二

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高二数学组

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3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

年 月 日第 节

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知识与技能：了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

过程与方法：从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复学习

目标

结合的思想方法.

数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形情感、态度与价值观：通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识.

学习复数代数形式的加减运算及其几何意义. 重点

学习复数代数形式的加减运算几何意义.

难点

学 习 过 程

学 习 过 程【导、探、练、展、评】

知识点一：复数的加减法

[提出问题] 已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想，复数如何加减？

备

注

问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？

问题3：以交换律进行说明．

[导入新知] 1．复数的加减法法则

导

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝_____________________. 2．复数加法的运算律

(1)交换律：____________；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________．

[化解疑难] 对复数加减法的理解

1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．

2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加1

减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3. 知识点二：复数加减法的几何意义

[提出问题] 如图OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应．

问题1：试写出OZ1，OZ2及OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2的坐标．

问题2：向量OZ1＋OZ2，OZ1－OZ2对应的复数分别是什么？

[导入新知] 复数加减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是______，与z1－z2对应的向量是______.

[化解疑难] 对复数加减运算几何意义的认识

(1)若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|. (2)复数加减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．

题型一：复数的加减运算

[例1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

探-练

[类题通法] 复数的加减运算的技巧

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

[活学活用] 计算下列各题：

(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；

(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 017－2 018i)．

2

题型二：复数加减运算的几何意义

[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．

[类题通法] 运用复数加减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

题型三：综合应用

[例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.

[类题通法] 与复数模有关的几个常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点：

(1)则四边形OACB为平行四边形；

(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；

(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；

(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(

) A．－1＋i

B．1－i C．i

D．－i

展

2．在复平面内，AB，AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则BC对应的复数为(

) A．－1－5i B．－1＋5i C．3－4i D．3＋4i 3．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(

) 3

A．1－3i B．－2＋11i C．－2＋i D．5＋5i 4．在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，则DA对应的复数是(

) A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i 5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(

) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．

7．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________. 8．已知|z|＝5，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________. 9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.

10.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)向量AO对应的复数；

(2)向量CA对应的复数；(3)向量OB对应的复数．

【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来

作业

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