一 比较法课堂实录及点评

2.1 比较法

一、教学目标

1．理解比较法证明不等式的依据．

2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．

四、教学难点

通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．

五、教学过程[来源:Zxxk.Com]

（一）导入新课

下面的不等式你会证明吗？不妨试一试？

例1.

求证：x33x

23332

证明：x33xx0x33x

24422（二）讲授新课

教材整理1

作差比较法

1．理论依据：①a＞b⇔

；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔

. 2．定义：要证明a＞b，转化为证明

，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①

；②变形；③

；④下结论．

552332例2.已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab



aabbbaaba

ababaabb

5523323523233233322222132

abababb

242证明：abababaabbab

2532b2

13

ab且abab0,ab0,abb20

2422

a5b5a2b3a3b2

规律总结：

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．

例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为a。若在上述溶液中再添加

bmkg白糖，此时糖的质量分数增加到证明。

解：可抽象为如下的不等式问题：

am。将这个事实抽象为数学问题，并给出

bm已知a,b，m都是正数，并且a＜b，则ama＞

bmb证明：amaabbmabammba-=

bmbbbmbbm因为a,b，m都是正数，并且a＜b，所以mba0,bbm0

所以：amaama-＞0，所以＞

bmbbmb小结：作差变形的常用方法技巧——配方法、通分法、因式分解法

教材整理2

作商比较法

aa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔

；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1. bb2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明

，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

例4.已知a、b是正数，求证：ab证明：因a、b是正数

ababba当且仅当a=b时，等号成立。

aabba所以baaabbbaabbab

abaa当ab0时，1,ab0bb1

aaab当ba0时，0b1,ab0b1

aaab当ab时，b1,ab0b1

ab综上知：当a、b是正数时，总有ab1

aabbabba，当且仅当a=b时，等号成立。

（三）归纳小结

—作差法比较法——作商法

—实际应用

（四）随堂检测

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

B．t≥s

C．t＜s

D.t≤s

【解析】

s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，

∴s≥t. 【答案】

D 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(

A．P＞Q

B．P＜Q

C．P＝Q

D.大小不确定

P－Q＝log(a3＋1)－loga3【解析】＋1aa(a2＋1)＝logaa2＋1. ＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜a3当0＜a＋1a2＋1＜1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3＋1a2＋1＞1，

∴loga3＋1aa2＋1＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 综上总有P＞Q，故选A. 【答案】

A 五、板书设计

)

2.1 比较法

教材整理1

作差比较法

教材整理2

作商比较法

例1：

例2：

学生板演练习

六、作业布置

作业：P23.

3 七、教学反思

例3：

例4：

4

、