2.基本不等式优秀课堂实录

《基本不等式》教学设计方案

人教版（A版）普通高中课程标准试验教科书选修4-5不等式选讲

伊春市伊春区第二中学 张玉超

【教学目标】 1、知识与技能目标

ab（1）掌握基本不等式

a²+b²≥2ab

和ab,认识其运算结构； 2（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；

（3）能够利用基本不等式解决实际问题。

2、过程与方法目标

（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；

（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标

（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；

（2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

a²+b²≥2ab

和abab的证明过程。

2ab等号成立条件。

2【教学难点】

基本不等式ab【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合

【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验

【教学流程】

实物演示

引入课题

观察、发现问题

总结问题

课堂小结

引例练习

验证证明

【教学过程设计】

一、

创设情景，引入新课

1.

代数证明公理1 22证明：因为a2b22ab(ab)20，即ab2ab.（当ab时取等号）

（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）

得到结论：一般的，如a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为 a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

2.公理1的几何意义

如果把实数a,b作为线段长度，那么可以这样来解释定理1: 以a>b为例.如图1.1-2，在正方形ABCD 中,AB=a;在正方形CEFG中，EF=b A

a

B

1．探究图形中的不等关系

分析：IKbAIb

D

G

HaGBCDKHFFbbCJJaabEbE问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

S＋正方形ABCDS=a＋b矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b, 正方形CEFG＋22它们面积的和是S矩形BCGHS矩形JCDI=2ab矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形

JCGK,它的边长等于b,其面积与正方形CEFG相等.所以,上述两个矩形面积的和2ab就等于

图中阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG面积的和，即

a2＋b2≥2ab, 当且仅当a=b时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形

CEFG面积的和，即

a2＋b2=2ab. 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

问题2：你能用代数的方法给出它们的证明吗？

4．基本不等式

1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2ab

22）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

要证 abab (1) 2只要证 ab2ab (2) 要证（2），只要证 a+b-2ab0 （3）

要证（3），只要证 （a-b）2

0 （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式abab的几何意义

2下面我们讨论基本不等式的几何意义.在图1.1-3中,CD是Rt△ABC中斜边AB上

的高，OC是斜边AB上的中线, AD=a,BD=b,于是, 11OC=AB=(a+b). 22因为∠DCA+∠A=90°，∠B+∠A=90°, 所以∠DCA=∠B. 于是Rt△DCA∽Rt△DBC. 从而CADCDaCD=,即. CDBDCDbAODB所以CD=ab

ab>ab.

2ab当a=b时，Rt△ABC斜边AB上的中线CO和高CD重合,所以=ab.

2当a≠b时，在Rt△OCD中，斜边CO大于直角边CD,所以综上所述可知，基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上

的高. 【板书】两个重要不等式

若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

若a,bR，则abab（当且仅当ab时，等号成立）

2

二、学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

例1求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短. 分析:设矩形的长为x，宽为y,那么该矩形的周长为2(x+y),面积为x y ,这样, 问题就转化为: (1)如果2(x+y)(从而x+y)为定值，那么正数x，y有什么关系时x y最大? (2)如果x y为定值，那么正数x，y有什么关系时2(r+y)(从而x+y)最小? 由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之间的数量关系，所以可以考虑利用基本不等

式进行证明. 证明:设矩形的长为x,宽为y. (1)设矩形周长为定值L,即2x+2y=L为定值，根据基本不等式

xy≥xy

2L可得

≥xy

4L2于是，矩形的面积

x y≤

16L2当且仅当x=y时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，面积x y取得最大值.

16(2)设矩形面积为定值S,即x y=S为定值，根据基本不等式

xy≥xy

2矩形的周长

2(x+y)≥4xy=4S, 当且仅当x=y时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时,周长2(x十y)取最小值4S. 一般地，从基本不等式可以得到下面结论:对两个正实数:如果它们的和S是定值，则当且仅当x=y时，它们的积P取得最大值;如果它们的积P是定值，则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值. 利用基本不等式可以解决一些最大(小)值问题。

练习1：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

练习2：用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

例2：某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型

平面图(图1.1-4)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的

面积为200m的十字型地域. 计划在正方形MNPQ上建一座花

坛，造价为4200元/m;在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺

花岗岩地坪,造价为210元/m;再在四个空角(图中四个三角形) 上铺草坪,造价为80元/m. (1)设总造价为S元,AD长为x m,试建立S关于x的函数关系式; (2)当x为何值时,S最小?并求出这个最小值. 解:(1)设DQ=y(m)，则x+4xy=200，从而

22222HGDAQMPNCB200x2y=

4x于是

S=4200x+210×4xy+80×2y2

2E22F200x200x2=4200x+210×4x+80×24x4x2图1.14

=38000+4000x+(2)

由基本不等式可知，

4000x+

当且仅当4000x=222400000

2x4000004000002≥2=80000 4000x22xx400000

2x即x=10≈3.16时，等号成立. 由上可知，当AD约为3.16m时，休闲场所总造价S取最小值118 000元.

【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可

※分享收获: 对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4条件

一正

二定

三相等

口诀

积定和最小

和定积最大

三、课堂小结

1.本节课我们学习的主要内容是什么？

2.在应用基本不等式时，需要注意哪几点？

四、作业