一 比较法教学目标设计

四川省苍溪中学教案

【不等式的证明(比较法)】

学科：数学

年级：高三

班级：10、21教师：寇海楼

一、教材分析：不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法（比较法、分析法、综合法）为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标： 1、知识与技能：

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

2、过程与方法：

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

3、情感、态度与价值观： （1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

三、教学重点：

比较法的意义和基本步骤，作差、作商比较法证明不等式

四、教学难点：

常见的变形技巧，根据题目特征选择合适的方法证明不等式

五、教学准备

1、课时安排： 2课时 2、学情分析：本节知识是在学生已经学习了不等式的概念和基本不等式以及不等式的相关基本性质的基础上来学习的，学生已有一定基础，只是部分学生由于上课的状态和课后没有及时巩固到位，对前几节的基础铺垫知识理解掌握得不是很透彻，可能还存在一定理解和对新知识的接受的问题。

3、教具选择：多媒体 六、教学方法：启发引导式、合作探究 七、教学过程

1、自主导学：阶段1、认知、预习、质疑

[基础•初探] 教材整理1

作差比较法

阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．

1．理论依据：①a＞b⇔

a－b＞0 ；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0 . 2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0

，这种方法称为作差比较法．

3．步骤：①作差

；②变形；③判断符号；④下结论．

教材整理2

作商比较法

阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．

aaa1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔b＞1；②a＜b⇔b＜1；③a＝b⇔b＝1.

a2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明b＞1，这种方法称为作商比较法．

3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．

2、合作探究

（1）分组探究：

阶段2、合作、探究、通关

类型1、作差比较法证明不等式

例1、已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b+ab2 分析：可以把不等式两边相减，通过适当的恒等变形，转化为一个能够明确确定正负的代数式。

【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的多项式，可分组分解因式或配成平方和的形式，确定符号．

【证明】

(a3＋b3)－(a2b+ab2)

＝(a3－a2b )－(ab2－b3)

＝a2(a－b)－b2(a－b)

＝(a2－b2) (a－b) ＝(a＋b)(a－b)2．

因为a，b都是正数，所以

a＋b＞0，

又因为a≠b，所以(a－b)2＞0，

所以(a＋b)(a－b)2＞0，即(a3＋b3)－(a2b+ab2)＞0，

所以(a3＋b3)＞(a2b+ab2)

（2）教师点拨：

1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．

2．“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”做如下处理：

（1）变形为一个常数，或因式分解．

（2）配方．

（3）通分．

（4）有理化因式．

3、巩固训练：

类型2：比较法的实际应用

例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为a. 若在上述溶液中再添加mkgb

白糖，此时糖的质量分数增加到am，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明. bm分析：显然，a,b,m都是正数，且a

解：如可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知a，b，m都是正数，并且a

bmbm(ba)ama＝

bmbb(bm)因为a0；

又因为a, b,m都是正数，b(bm)0,m(ba)0

所以m(ba)ama>0，即>

bmbb(bm)教师点拨：

1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，即建立数学模型是解应用题的关键．

2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．

4、拓展延伸：

[再练一题] 1．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【证明】

∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2 ＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)

＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)

＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．

∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，

∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，

即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. [再练一题] 2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？

【解】

设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的

ll截面面积为π·2π2，截面是正方形的水管的截面面积为42

22l2l2l114－πl∵π·2π－4＝4π－4＝16π.

4－πl2ll由于l＞0,0＜π＜4，∴16π＞0，∴π·2π2＞42

因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，

那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

例3、已知：a，b都是正数，求证：aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立。

分析：由于a，b是正数，所以不等式的两边都是正数。由于要证的不等式两边都是指数的形式，把它们相除并考察商式与1的大小关系比较方便。

aabba证明：将不等式两边相除，得abba

= aa－bbb－a = (b) a－b a不妨设a≥b>0，于是b≥1，a－b≥0. aa所以

(b) a－b≥(b)

0

＝1, 当且仅当a＝b时，等号成立. 所以

aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立. 另解：差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0ababab(a从而原不等式得证。

教师点拨、引导学生总结：

abbabbabbab)0，

1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．

a2．运用a＞b⇔b＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．

[构建·体系] 比较法——作商法—实际应用—作差法

5、师生合作总结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

八、课外作业：

阶段3:体验、落实、评价

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(

) A．t＞s

B．t≥s

C．t＜s

D.t≤s

【解析】

s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.

【答案】

D bb＋m2．设a，b，m均为正数，且a＜，则a与b的大小关系是________．

a＋m

3. 若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(

) A．ω＞u

B．ω＜u

C．ω≥u

D.无法确定

2y3y2【解析】

∵ω－u＝x2－xy＋y2＝x－2＋4≥0，∴ω≥u.

【答案】

C 4．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【证明】

2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，

即2a3－b3≥2ab2－a2b. 作业：P31.习题2.1

1－4题

课本23页第1、2、3题。

九、板书设计：

§2.1 比较法

学习目标

例1 例4

例2

思考题

例3 例5

十、教学反思：（注：教学实施后写）

实战训练

通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理．