三 反证法与放缩法优秀教学实录

§2. 3不等式的的证明(3) ☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式

☻知识情景：

1. 不等式证明的基本方法：1.

比差法与比商法(两正数时)．

2. 综合法和分析法．

3. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B23.分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),源:Z*xx*k.Com][来000BnB

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. BB1B2BnA 用分析法证明不等式的逻辑关系：

结 (步步寻求不等式 已

论 成立的充分条件) 知☻新知建构：[来源:学科网]

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 .

2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：

1．已知xya，可设 ， ；

00222．已知xy1，可设 ， (0r1)；

x2y203．已知a2b21，可设 ， . 222

例2 设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，c的取值范围是（

22） A.[21,)

B.(,21] C.[21,) D.(,21]

例3 已知x2y21，求证：1a2yax1a2

3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a21a，n(n1)n， ②将分子或分母放大（或缩小）如： ③应用“糖水不等式”：“若0a111

2n(n1)nn(n1)b，m0，则aam”

bbm[来源:Z,xx,k.Com] ④利用基本不等式，如：lg3lg5( ⑤利用函数的单调性[来源:学&科&网Z&X&X&K])2lg4；

⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR； ⑦绝对值不等式：ab≤ab≤ab；

22 ⑧利用常用结论：如：12kkkkk1 1kk1kkN,k1，

*222kkkk1kk1kN,k1

*n ⑨应用贝努利不等式：(1x)1nxn(n1)2x12xn1nx.

例4 当

n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n

[来源:学。科。网]

例5求证：1

例6 若a, b, c, dR，求证：1

+11113.

112123123nabcd2

abdbcacdbdac