三 反证法与放缩法教学设计模板

反证法与放缩法

一、教学目标

1．掌握用反证法证明不等式的方法．

2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握用反证法证明不等式的方法．

四、教学难点

了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

五、教学过程

（一）导入新课

（二）讲授新课

1 反证法

先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．

用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．

(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．

2 放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．

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（三）重难点精讲

题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题

1＋x1＋y例1.若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．

yx1＋x1＋y【证明】

假设<2和<2都不成立，

yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，

yx两式相加，

得2＋x＋y≥2x＋2y，

所以x＋y≤2，

1＋x1＋y这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．

yx规律总结：

1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．

2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．

[再练一题] πππ1．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，236c中至少有一个大于0. [思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．

[精解详析]

假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，

πππ而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3 236∴π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)≥0 ∴a＋b＋c>0这与a＋b＋c≤0矛盾．

因此，a，b，c中至少有一个大于0. 题型二、利用放缩法证明不等式

11132*例2已知an＝2n，n∈N，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜. a1a2an2【解答】

∵当n≥2时，an＝2n＞2n(n－1)，

111∴＝2＜＝·

an2n22

2

111－＝，

2n－1n111111111－∴＋＋…＋＜1＋1－＋－＋…＋

n－1na1a2an222311313＝1＋1－＝－＜，

2n22n21113即＋＋…＋＜. a1a2an2规律总结：

1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．

2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．

[再练一题] 11112．求证：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn【证明】

∵k＞k(k－1)，

111∴2＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．

kk－1k分别令k＝2,3，…，n得

1111111＝1－，2＜＝－，…，

2＜21·2232·32312n2＜＝11－. n－1n111因此1＋2＋2＋…＋2

23n1111－1

＜1＋1－＋－＋…＋223n－1n11＝1＋1－＝2－. nn1111故不等式1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn（四）归纳小结

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—反证法的一般步骤反证法与放缩法——证明不等式—放缩的技巧（五）随堂检测

A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 —反证法与放缩法的定义

1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(

) 【解析】

实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D. 【答案】

D 2．A＝1＋解析：A＝111＋＋…＋与n(n∈N＋)的大小关系是________．

23n1111n111++?··+＋＋＋…＋≥＝＝n. 123nnnnnn项答案：A≥n

六、板书设计

2.3反证法与放缩法

教材整理1 反证法

教材整理2 放缩法

例3：

例1：

例2：

学生板演练习

七、作业布置

同步练习：2.3反证法与放缩法

八、教学反思

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