二 综合法与分析法公开课参赛课教案

2.2综合法和分析法

虎林市高级中学

梁红艳

一、教学目标

1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．

2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．

四、教学难点

会用综合法、分析法证明简单的不等式．

五、教学过程

（一）导入新课

已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a. 【证明】

要证c－c2－ab＜a，

只需证明c＜a＋c2－ab，

即证b－a＜2c2－ab，

当b－a＜0时，显然成立；

当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，

即证(a ＋b)2＜4c2，

由2c＞a＋b知上式成立．

所以原不等式成立．

（二）讲授新课

教材整理1

综合法

一般地，从

出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做

，又叫或

．

教材整理2

分析法

证明命题时，我们还常常从要证的

出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为

或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做

，这是一种执果索因的思考和证明方法．

（三）重难点精讲

题型一、用综合法证明不等式

例1已知a，b，c是正数，求证：

b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc. 【精彩点拨】

由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可证．或将原不等式变形为bca＋acb＋abc≥a＋b＋c后，再进行证明．

【自主解答】

法一

∵a，b，c是正数，

∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc，

∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)，

即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

又a＋b＋c＞0，

∴b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc. 法二

∵a，b，c是正数，

∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c. 同理acb＋abc≥2a，abc＋bca≥2b，

∴2bca＋acb＋abc≥2(a＋b＋c )．

又a＞0, b＞0，c＞0，

∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)．

故b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc. 规律总结：

1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰

当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．[来源:学。科。网] 2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术­几何平均不等式等．

[再练一题] 1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2. 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞82. 【证明】

∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴1＋a≥2a，当且仅当a＝1时，取等号，

1＋b≥2b，当且仅当b＝1时，取等号，

1＋c≥2c，当且仅当c＝1时，取等号．

∵

abc＝2，

∴a，b，c不能同时取1，∴“＝”不同时成立．

∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8abc＝82. 即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞82. 题型二、综合法与分析法的综合应用

例2设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜18＋loga2. 【精彩点拨】

要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单

的结论，然后再利用综合法证明．

【自主解答】

由于0＜a＜1，则t＝logax(x＞0)为减函数．

欲证loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证ax＋ay ＞2a18. ∵y＋x2＝0,0＜a＜1，

∴x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14. 当且仅当x＝12时，(x＋y)max＝14，

∴ax＋y≥a14，ax＋y≥a18当x＝12，y＝－14时取等号.①

又ax＋ay≥2ax＋y(当且仅当x＝y取等号), ②

∴ax＋ay≥2a18.③

由于①，②等号不能同时成立，

∴③式等号不成立，即ax＋ay＞2a18成立．

故原不等式loga(ax＋ay)＜18＋loga2成立．

规律

总结：

1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．

2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用．

[再练一题] 2．已知a，b，c都是正数，求证：2a＋b2－ab≤3 a＋b＋c3－3abc. 【证明】

法一

要证2a＋b2－ab≤3a＋b＋c3－3abc，只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc，

即－2ab≤c－33abc，

移项，得c＋2ab≥33abc. 由a，b，c都为正数，得c＋2ab＝c＋ab＋ab≥33abc，∴原不等式成立．

法二

∵a，b，c都是正数，

∴c＋ab＋ab≥33c·ab·ab＝33abc，

即c＋2ab≥33abc，

故－2ab≤c－33abc ，

∴a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc，

∴2a＋b2－ab≤3a＋b＋c3－3abc. 题型三、分析法证明不等式

例3已知a＞b＞0，求证：－＜a＋b2－ab＜－

【精彩点拨】

本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0 得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明

的不等式，从中找到证题的线索．

【自主解答】

要证原不等式成立，

只需证－＜a＋b－2ab＜－，

即证a－b2a2＜(a－b)2＜a－b2b2. 只需证a－b2a＜a－b＜a－b2b，

即a＋b2a＜1＜a＋b2b，

即ba＜1＜ab. 只需证ba＜1＜ab.[来源:Z。xx。k.Com] ∵a＞b＞0，∴ba＜1＜ab成立．

∴原不等式成立．

规律总结：

1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开

方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．

2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．

[再练一题] 3．已知a＞0，求证：

a2＋1a2－2≥a＋1a－2. 【证明】

因为a＞0，要证原不等式成立，只需证

a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，[来源:学科网] 即证a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4

≥a＋1a2＋22a＋1a＋2，

只需证2·a2＋1a2≥a＋1a，

即证2a2＋1a2≥a2＋1a2＋2，

只需证a2＋1a2≥2. 由基本不等式知a2＋1a2≥2显然成立，

所以原不等式成立．

（四）归纳小结

综合法与分析法——综合法—分析法—综合法与分析法的区别与联系

（五）随堂检测

1．已知a＜0，－1＜b＜0，则(

) A．a＞ab＞ab2

B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2

D.ab＞ab2＞a 【解析】

∵－1＜b＜0，[来源:学§科§网] ∴1＞b2＞0＞b. 又a＜0，∴ab＞ab 2＞a. 【答案】

D 2．下列三个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a.其中能使1a＜1b成立的充分条件有(

) A．①②

B．①③

C．②

③

D.①②③

【解析】

①a＜0＜b⇒1a＜1b；②b＜a＜0⇒1a＜1b；③b＜0＜a⇒1a

＞1b.故选A. 【答案】

A 3．已知a，b∈(0，＋∞)，Ρ＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是________. 【解析】

∵a＋b≥

，

∴a＋b≥a＋b2. 【答案】

P≤Q 六、板书设计

2.2综合法和分析法

教材整理1

综合法

教材整理2

分析法

例1：

例2：

例3： 学生板演练习

七、作业布置

同步练习：2.2综合法和分析法

八、教学反思