1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计思路

3．2独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计

化州市中垌中学

刘付宗兴

1.教学内容与内容解析

在在人教A版《数学2-3（选修）》第二章之后，学生已经学习了两个事件独立的判断方法。本册第3章第2节“独立性检验的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍独立性检验的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计3课时，第一课时：介绍判断两个分类变量有关系的直观方法；第二课时：从事件的独立角度分析两个分类变量有关系的判断方法，建立独立性检验的基本步骤；第三课时：对比反证法对独立性检验做进一步分析及习题巩固. 本节课是第二课时的内容.

2.教学目标与目标解析

1、知识目标

知道什么是独立性检验；

2、能力目标

（1）会利用随机变量K2公式计算列联表的观测值k；

（2）能正确理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

3、情感目标

通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.

3.教学问题诊断分析

由于学生在本册教材的第二章已经学习了两事件独立的相关知识，所以本节课学生容易了解：

（1）两个分类变量没有关系可以等价于对应两个事件是独立的，从而可以利用概率的相关知识来分析解决两个分类变量有关系问题．

（2）两个分类变量对应事件的概率在统计中并不知道，但由于有分类变量的列联表，可以借用列联表中数据，近似用频率代替概率来分析.

在学习过程中，相对不易理解的地方有：

（1）随机变量K2是怎样构造出来的，为什么如此构造？

（2）随机变量K2的大小能判断出“两个分类变量有关系”的把握，为什么不是100%？

（3）通过教材所得到的有99%的把握认为“两个分类变量有关系”，是指两个分类变量有99%的关系吗？

4.教学支持条件分析

本节课是在学习了回归分析的基本思想及初步应用后，（回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法），利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础.

5.教学过程设计

一、复习引入

【师】在现实生活中，会遇到各种各样的变量，如果要研究它们之间的关系，观察下面两组变量，分析在取不同的值时表示的个体有何差异？

【板演/PPT】

问题1：

（1）体重、身高、学生的学习成绩

（2）性别、国籍、宗教信仰、是否吸烟、是否患病

【师】引导学生交流思想统一认识后回答

【生】1中每个变量取不同“值”时，表示不同个体，2中变量每取不同“值”表示个体所属不同的类别

【板演/PPT】

变量：分类变量、定量变量

【师】在日常生活中存在着大量分类变量，如何判断连个分类变量是否有关系也是我们需要解决的一个重要问题。

【板演/PPT】

问题2：

在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：

例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等

【师】我们在研究两个定量变量之间的关系时，运用回归分析的基本思想进行回归分析，那么对于分类变量之间的关系该如何分析呢？

本节课就是要学习独立性检验思想在分析分类变量之间关系中的应用。

【板演/PPT】

引例1．为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

那么吸烟是否对患肺癌有影响？估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异？

二、新知介绍

[1]结合具体实例，引入列联表概念

【板演/PPT】

类似于上面的表格，我们称分类变量的汇总统计表为列联表，一般我们只研究两个分类变量只取两个值，这样的列联表称作2×2列联表. 【师】由上述表格能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？

【生】引导学生根据数据进行分析

1.利用频率分布表判断;

由患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的频率差异可粗略估计吸烟对患肺癌有影响; 2.利用统计图直观判断

（1）通过三维柱形图判断两个分类变量是否有关系：

由图中能清晰看出各个频数的相对大小, 由患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的相对频数差异可粗略估计吸烟对患肺癌有影响; （2）通过二维条形图判断两个分类变量是否有关系：

作出患肺癌在吸烟者与不吸烟者中的的频率条形图

由图中可看出,吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例, 可估计吸烟对患肺癌有影响. 【师】教师引导:上面通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否如此呢?并且能够以多大的把握认为”吸烟与患肺癌有关”?能否用统计学观点进一步考察这个问题. 【生】积极思考

【板书/PPT】

为研究的一般性,在列联表中用字母代替数字

【师】若假设吸烟与患肺癌两个变量没有关系,则应得到什么结论? 【生】在吸烟者中患肺癌的比例约等于不吸烟者中患肺癌的比例,即

a/a+b≈c/c+d a(c+d) ≈

c(a+b) ad -bc ≈

0 【师】若计算ad –bc的结果,由此可以初步得出什么结论? 【生】︱ad –bc︱越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;︱ad–bc︱越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 【师】为使不同的样本容量的数据有统一的评判标准,可构造一个随机变量

其中n=a+b+c+d为样本容量

若假设成立，k2应该很小;若，k2很大,说明假设不成立,即两变量有关系.利用上述公式，可计算出问题中的k2的观测值为同学们肯定会提出同一问题：那么这个值是不是很大？怎样才算很大？

【板书/PPT】在假设成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：

现在的观测值56.632远大于6.635，即假设成立的概率为0.01，是小概率事件，也就是假设不合理的程度约为99%，，因此可以下结论：有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。这就是两个分类变量独立性检验的基本思想，可以表述为：当很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。

【师】以上就是独立性检验的基本思想？同学们能否总结什么是独立性检验？

【生】学生思考、交流、总结

【板书/PPT】

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下用我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过P(K2≥6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出K2>6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%. [2] 新知应用

【师】为了深刻的理解独立性检验思想和在生活中的应用，我们来看下列一个问题

【板书/PPT】

例2.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

【师】

能否根据引例中的检验方式进行相关分析

【生】学生交流分析过程

【板书/PPT】

解：根据题中所给数据列出二联表

相应的等高条形图如图所示：

比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”．

【师】

根据数据有多大把握判断秃顶与患心脏病是否有关系？

【生】在假设的前提下，，所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”. [3] 拓展迁移

【师】下面我们看这样具体实例

【板书/PPT】

跟踪训练

为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关，调查了339名50岁以上的人，获数据如下：

吸烟习惯与患慢性气管炎是否相关？试用独立性检验的思想说明理由．

【生】结合例题进行计算，体会独立性检验思想

【学生表达/PPT】

解：根据列联表的数据得到K2的观测值：

所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟习惯与患慢性气管炎有关”. （1）利用随机变量K2进行独立性检验的步骤：

①根据实际问题需要的可信度α确定临界值k0；

②根据给出数据计算得出随机变量K2的观测值k；

③如果k≥k0，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下，认为两变量有关系；否则，认为两个分类变量没有关系．

（2）独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认．

【师】引导学生共同总结独立性检验的基本步骤

【生】交流总结，组织语言

【学生表达/PPT】

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：

[4]随堂练习

【师】下面针对本节课所学，做几道练习题

【板书/PPT】

答：C

答：D

课堂小结

1．列联表与等高条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．

2．对独立性检验思想的理解

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K2的值，如果K2值很大，说明假设不合理．K2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．

板书