探究与发现 组合数的两个性质教案公开课一等奖

加法原理和乘法原理

2教学目标

知识与技能:理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题。 过程与方法:通过诱导,探索得出结论,培养学生的理解能力和抽象概括能力;通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。

情感、态度与价值观:通过实例引入体会数学来源生活,并为生活服务,激发学生学习本章的兴趣;通过探索与发现的过程,使学生体会数学研究的成功与快乐,学会提出问题、分析问题、解决问题,激发学生勇于探索,敢于创新的精神,优化学生的思维品质。

3学情分析

知识与技能:理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题。 过程与方法:通过诱导,探索得出结论,培养学生的理解能力和抽象概括能力;通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。

情感、态度与价值观:通过实例引入体会数学来源生活,并为生活服务,激发学生学习本章的兴趣;通过探索与发现的过程,使学生体会数学研究的成功与快乐,学会提出问题、分析问题、解决问题,激发学生勇于探索,敢于创新的精神,优化学生的思维品质。

4重点难点

教学重点:归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理,能应用它们解决简单的实际问题。

教学难点:正确理解“完成一件事”的含义,根据实际问题的特征,正确地区分“分类”和“分步”。

5教学过程

5.1第一学时

5.1.1教学活动

活动1【导入】引入课题

我们知道,汽车牌照一般是从26个英文字母和10个阿拉伯数字中选出若干个,并按照适当顺序排列而成,现在随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,车牌号码急需扩容,不仅如此还有许多车主希望自己的车牌号“个性化”,那么交通管理部门应如何确定车牌号的组成方法,才能满足民众的需求呢?这就要“数出”某种车牌号组成方案下所有可能的号码数,这就是计数。日常生活、生产中类似的计数问题大量存在,比如,体育组要在高二年级的14个班级之间举行篮球赛,但时间又不能拖得太长,经常会采用循环赛和淘汰赛相结合的方式进行,那么体育老师就需要计算一下一共需要举行多少场比赛?类似这样的计数问题当数字较大时通过逐一列举是很难实现的,今天我们就来学习解决此类问题的两个重要的计数原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理。下面我们逐一来探讨这两个原理

活动2【讲授】提出问题

问题1.1:用

三者中的一个字母或1—9中的一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码? 问题1.2:在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 B大学

生物学 数学

化学 会计学

医学 信息技术学

物理学 法学 工程学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有 种选择呢? 探究:你能说说以上两个问题的特征吗? 活动3【活动】探究

分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有

种不同的方法,在第2类方案中有

种不同的方法. 那么完成这件事共有

种不同的方法. 探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有

种不同的方法,在第2类方案中有

种不同的方法,在第3类方案中有

种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 来源:Zxxk.Com]

如果完成一件事情有

类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 活动4【讲授】讲授

一般归纳: 完成一件事情,有

类不同方案,在第1类方案中有

种不同的方法,在第2类方案中有

种不同的方法……在第

类方案中有

种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.来源学科网ZXXK]

理解分类加法计数原理: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事可分为若干类,各类方案相互独立,方案中的各种方法也相互独立,用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 活动5【活动】探究

提出问题

问题2.1:用

三个字母和1—9九个阿拉伯数字,以

, ,…, , ,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码? 问题2.2:从甲地去乙地的道路有3条,从乙地去丙地的道路有2条,从甲地经乙地到丙地的路线有几条? 探究:你能说说以上两个问题的特征吗? (2)发现新知

分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有

种不同的方法,做第2步有

种不同的方法. 那么完成这件事共有

种不同的方法. 探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有

种不同的方法,做第2步有

种不同的方法,做第3步有

种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要

个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 活动6【讲授】讲授

一般归纳: 完成一件事情,需要

个步骤,做第1步有

种不同的方法,做第2步有

种不同的方法……做第

步有

种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

理解分步乘法计数原理: 分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 活动7【练习】应用

例1.书架的第1层放有5本不同的语文书,第2层放有4本不同的数学书,第3层放2本不同的英语书. ①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 分析:①要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1、2、3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理. ③要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取语文和数学书各1本,再要考虑取1本语文和取1本数学的取法总数,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解:(1) 从书架上任取1本书,有3类方法:第1类方法是从第1层取1本语文书,有5种方法;第2类方法是从第2层取1本数学书,有4种方法;第3类方法是从第 3 层取 1 本英语书,有 3 种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是: =5+4+3=12; (2)从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,可以分成3个步骤完成:第 1 步从第 1 层取 1 本语文书,有 5 种方法;第 2 步从第

2 层取1本数学书,有 4 种方法;第 3 步从第3层取1 本英语书,有 3种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是: =5×4×3=60 . (3) 。

通过例题你能说说分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点吗? ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类方案,各类方案相互独立,各类方案中的各种方法也相对独立,用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,

各个步骤相互依存,只完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成. 怎样才能用好这两个计数原理呢? 总结:应用两原理计数时首先要明白“要完成一件什么事”,才能进一步分析用什么方法来完成(即需要“分类”还是需要“分步”)

例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?来源:Zxxk.Com]

解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第1步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种选法;第2步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是N=3×2=6 . 6 种挂法可以表示如右: 你还有别的解答方法吗? 第一步:从3幅画中选出两幅,有三种选法(“甲乙”“甲丙”“乙丙”);第二步;将选出的两幅画挂好,有两种挂法,所以共有

中挂法

练习1.一个商店销售某种型号的电视机,其中本地的产品有4种,外地的产品有7种,要买1台这种型号的电视机,有多少种不同的选法? 练习2. 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据. 总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成,那么能有多少种不同的RNA分子? 练习3.投掷两次骰子,出现的数字之和为偶数的情况有多少种? 试一试:满足

的集合

、

共有多少组? 分析:按集合

的情况分类: ①

若

, ,有1种;来源学*科*网

②

若

,则

,有2种; ③

若

,则

,有2种; ④

若

,则

,有4种; 所以,集合

、

共有1+2+2+4=9(组) 你还有别的解答方法吗?

对应的区域可以分为独立的三部分,要确定集合

、

,只需要分别把1,2两个数填在这三个区域中的任何一个位置即可,填1时可以有3三种选择,填2时也是三种选择,把1,2的位置选好,集合

、

即可确定,所以根据分步乘法计数原理共有

(组) 试一试:将4种不同的颜色涂在下列图中的区域上,每一个区域涂一种颜色,相邻区域涂不同颜色,则不同的涂法种数各有多少? 分析:对每一块区域逐一涂色:第一块:有4种颜色选择;第二块有3种;第三块有2种;第四块有2种,只有四块区域全涂完这件事情才算完成了,所以涂色种数为: 你还有别的解答方法吗?(能否从颜色的角度入手考虑?) ①用4色:共有

(种); ②用3色:共有

(种);所以一共有

(种) 活动8【练习】练习

1.有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有( )种

A.81 B.64 C.24 D.41 2.(1)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为多少? (2)五名学生争夺四项体育比赛的冠军,则获得冠军的可能性有多少种? 3.从集合

和

中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 . 4*.设集合

, . (1)从集合

到集合

的函数

有多少个? (2)满足

为奇数的函数

有多少个? 5*.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上5种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 若变为图二呢? 思考题: (1)集合A 的子集有多少个?为什么? (2)已知集合A ,则满足

的有序集合对

共有多少对? 活动9【讲授】小结

来源:Z*xx*k.Com]

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,并加区别: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 2.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: ①首先要确定“完成一件什么事”,然后确定怎样去完成?(即需要“分类”还是“分步”)

②分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次要保证分类时做到“不重不漏”。分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次要保证“步骤完整”,即必须并且只需连续完成这

个步骤,这件事才算完成.