一 比较法ppt课件配套教案内容

选修4_5 不等式选讲

课 题：

不等式的证明——比较法

教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

问题:

你能比较x2

与2x－2的大小吗? 一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：abab0

abab0

abab0

二、典型例题：

例1、设a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2。

尝试：作差比较，作差——变形——定符号

根据a－b>0a>b，欲证a>b只需证a－b>0 证明：∵(a3b3)(a2bab2)=a2(ab)b2(ab)=(a2b2)(ab)=(ab)(ab)2

∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)2>0 ∴(a3b3)(a2bab2)>0,∴a3b3a2bab2

说明: 变形要到位,直到能判断式子的符号为止.

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2 =33x23x41x2x42x2x22x3

=2(x4x3x1) =2(x1)2(x2x1)

=2(x1)2[(x132)24].

x1,从而(x1)20,且(x132)240,

1

13∴ 2(x1)2[(x)2]0,

24∴ 3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

方法、规律：(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少． (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法． (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

例3、已知a,bR,求证aabbabba.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法一：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0aabbabbaabbb(aabbab)0法二：证明：∵a,bR,∴要证aabbabba, 只要证lg(aabb)lg(abba), 只要证algablgbblgaalgb.. ，从而原不等式得证。

∵(algablgb)(blgaalgb)=(ab)(lgalgb)

∵ab与lgalgb同号，∴(ab)(lgalgb)0

2）商值比较法：设ab0,

aabbaa1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab注:作商比较法：依据：若b>0 ,则a/b >1 

a>b ，a/b =1 

a=b

， a/b <1 

a

基本步骤：作商——变形——与“1”比较大小

——下结论

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方法、规律：

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2SS(mn)m1nS，，t2，

t2，可得t1222m2nmn2mnS(mn)22SS(mn)S[4mn(mn)2]从而t1t2，

2(mn)mn2(mn)mnmn2mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x2与x2x1；（2）x2x1与(x1)2. 2．已知a1.

求证：（1）a22a1; （2）3．若abc0，求证abc(abc)四、课时小结：

abcabc32a1.

1a2.

谈谈收获：

主线:

比较法——理论依据——应用

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

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五、课后作业：

1、课后反思与体验

１）、本节课我复习到了哪些知识，是用什么方法学会的？

２）、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致的？

３）、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方法？

４）、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。

2、基础题：完成课本23页第1、2、3、4题。

3、探究：做好下节课前预习

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