一 数学归纳法教学设计(第二课时)

《数学归纳法》教学设计 一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【学情分析】

学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【策略分析】

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活——理论——实际应用”的过程；采用“教师引导——学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

四、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

六、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。

学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

七、【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）

（情境一）某人看到树上有一只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”这个结论是否正确呢？

（情境二）在数列已知a11,an1an中，a4an1an(nN*),发现a1111，

a3，a2，12311，由此猜想数列的通项公式为an(nN*).这个结论可靠吗？怎样才能说明其正4n确性？

【设计意图：】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。以上两个情境都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

【实例：】播放多米诺骨牌的游戏视频

【探究：】多米诺骨牌全部倒下的条件

【分析：】（实验一：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌…自然也没有倒下，游戏失败；

（实验二：）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比实验一实验，分析原因；

（实验三：）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌…全部骨牌依次倒下；

【设计意图：】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同角度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到完整的过渡。

三、立足生活，点燃思维的火花

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境二的问题。）

①第一块骨牌必须要倒下

②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下

1①当n1时，猜想成立

②任意相邻的两项，假设nk时，猜想成立，即ak(kN*),k1a1则当nk1时ak1kk(kN*)

1k11ak1k

即当nk1时猜想成立

1发现，对任意的正整数n猜想都成立，即该数列的通项公式是an(nN*).n

四、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1

时

命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

【问题一：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明。

五、讲练结合，巩固概念

【例：】用数学归纳法证明135...(2n1)n2

证明：（1）当n1时，左边1，右边1，等式成立；(2)假设nk(kN*)时等式成立，即：135（2k1）k2则当nk1时，左边135（2k1）[1(2k1)](k1)2(k1)2右边nk1时等式成立根据（1）和（2），可知等式对nN*都成立。

【问题二：】在证明过程中，发现有的同学是如下这样证明的：他的做法对吗？

证明: (1)当n1时，左边=1，右边=1，则等式成立；

(2)假设nk时，等式成立，即135...(2k1)k2，

则当nk1时，有

135...(2k1)1(2k1)(k1)

2即当nk1时，等式也成立，

nN*,等式成立。

错因：第k+1步的结论不是以第k步为条件得出的，证明过程中没有用到第二步的归纳递推，因此得到的结果未必正确。

改正：

nk1时，有

135...(2k1)

135...(2k1)(2k1)

k2(2k1)

(k1)2

即当nk1时，等式也成立。

【设计意图：】本题考查数学归纳法的证明过程。首先，教师将一道题目用数学归纳法完整的证明出来；然后再让学生当“小老师”，寻找另外一种证明过程中的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识，“先正后反”有助于学生全面认识数学归纳法。

n(n1)(2n1)【练习】用数学归纳法证明：122232...n2(nN*)

6

证明：(1)当n1时，左边：121，右边：

左边=右边，等式成立。

(2)假设当1(11)(21)1

6nk(kN*)6时等式成立，即122232...k2k(k1)(2k1)(kN*)

则当nk1(kN*)时，

2

左边122232...k2（k1

）

k(k1)(2k1)6(k1)(k2)(2k3)

(nN*)=右边

62

（k1）即当nk1时，等式也成立

nN*等式成立。

【设计意图：】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式——正整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。

当堂检测：

1.观察式子：1123，112125，11212127，，则可归纳出式子为（

）

222332344Ａ．112122231111 Ｂ．(n≥2)1n22n1223212n111(n≥2) Ｄ．1222nn2311(n≥2)

n22n112n(n≥2)

2n2n1Ｃ．1121232.用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1，前n项和公a1(1qn)式是Sn(q1).

1q

六、回顾总结，反思提高

(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。

七、分层作业

一、选择题

11．用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)过程中，由nk递推到nk13时，不等式左边增加的项为 （ ） A.(2k)2 B.(2k3)2 C.(2k1)2 D.(2k2)2

2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为

（ ）

A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2

111113(n2)的过程中，由n=k递推到3．用数学归纳法证明不等式

n1n2n32n24n=k+1时，不等式左边 （ ） 111A.增加了一项 B.增加了一项

2(k1)2k12(k1)11111C.增加了“”，又减少了“” D.增加了“

”，又减少了“”

k1k12k12(k1)2(k1)二、填空题

1111123,,4．已知数列，计算得s1,s2,s3,，由此可猜测234122334,n(n1)sn_______．

11111,则f(k1)=

f(k)+ _______．

5．若f(k)=12k12k234三、解答题

6．由下列不等式：11，1111，111223231311，1722312，15，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

八、板书设计

2、3数学归纳法

数学归纳法：

【练】

【例】

证明：（学生板演）

证明：

课堂小结：（1）、、、

（2）、、、

（3）、、、