1.3 二项式定理（通用）教案教学设计导入整理

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二项式定理（第一课时）教学设计

四川省安岳中学 杨位芳

一、教学内容解析

（一）教材的地位和作用

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

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（二）教学目标

1.知识技能目标

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。

（三）教学重点与难点

重点：用两个计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

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在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学策略分析：

（一）教法分析

用问题提出对于二项式定理的公式的探讨，探讨公式的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过从特殊到一般引导学生归纳出公式并证明，并能学会初步应用，加深对二项式定理的记忆和应用．

（二）学法指导

学生已具备排列组合的一些基本的计数问题，初中也学过完全平方公式，学生基本具备自主探讨的能力，所以这节课采取自主探讨，合作学习的学习方式。

四、教学基本流程

创设情境，提出问题

从特殊到一般探讨并证明二项式定理

对二项式定理的理解和说明

二项式定理的简单应用

课堂小结、布置作业

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五、教学情境设计

问题

（1）提出课题，

若今天是星期一，再是星期几？

（2）用乘法法则展开（a+b），合并同类项之前展开式有多少项？用两个计数原理分析．

2设计意图

师生活动

教师提出课题：二项式定理提出课题，回顾是研究(ab)n的展开式开始．并引导学生关注展开的两个步骤：用乘法法则展开；合并同类项．

教师提醒学生：用计数原理引导学生将分析展开式的项数，应当分析项2（a+b）的展开式与中的字母是如何取的．为了方便过

810天后的那一天相关知识．

两个计数原理联系分析，可以引进适当的记号如起来．

(a+b)1，(a+b)2，以表示字母是从哪一个中选出的．

教师引导学生分析展开式引导学生用计中同类项的形式和每一种类型（3）展开式中同类项的形式是怎样数原理分析同类项的项的个数．教师要提醒学生注2（ab）的？每一类型的项的的个数，得到意将项的形式归结为ankbk对分个数怎样计算？

（4）你能仿照上述过程，推导一下(ab),(ab)的展开34展开式的系数．

析展开式的意义．

这是教学的难点．

巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础．

得出二项式定理．

熟悉二项展开式．

学生独立完成，并由学生自己讲解过程．

先由学生独立完成，然后组织全班讨论．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．

教师引导学生独立完成，可以让学生对“直接展开”和“化简后展开”进行对比．

式吗？

（5）你能猜想一下(ab)的展开式并n给出证明吗？

（6）例1和变式．

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先让学生自己总结、表述，教师再补充．特别注意，用计数（7）小结

概括思想方法．

原理分析展开式，实际上是对“如何得到展开式的项ankbn”进行分析，也就是计数原理中的“一件事”．

【两点说明】

（1）得到二项式定理的猜想完全依赖于对(ab)2的展开式分析，因此要舍得在这个问题上多花些时间让学生多开展思维活动．

（2）实际上，用计数原理对展开式的分析，关键是考察“一件事”是什么和如何完成这件事，这里，要完成的“一件事”就是得到(ab)n展开式的项ankbk，可以分两步完成：第一步，从(nk)个(ab)中取字母a；第二步，从剩下的k个(ab)中取字母b。

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