1.3 二项式定理（通用）优秀教案案例

《二项式定理（一）》教学设计

-----高中数学同课异构专家指导课

泉州市奕聪中学 黄世界 一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课

1

二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用同桌间小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标设置

1.

教学目标：建构必备知识 发展关键能力

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.

教学方法：体验习得过程 积淀学科素养

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.

教育价值：默化思想观念 彰显教育价值

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，发展学生的数学运算及逻辑推理核心素养：通过介绍“杨辉三角”，渗透中国数学文化，体会数学之美，激发学生对祖国的自豪感，引导学生对美的追求，使他们摆脱“苦学”的束缚，走入“乐学”的天地，从而更加热爱祖国、认真学习，希望掌握先人们创造的数学知识，创造新的科技发明，为建设祖国贡献自己的才华。

四、教学重点、难点

重点：用两个计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

2

五、教学过程

教学程序

问 题

设计意图

师生活动

引出问题：2018年5月16日是星期三，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？

师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期五。

提出问题激算法：用各个数除以7，看余数是多少，

发学生探索再用五加余数来推算

欲望，并引出2018师：再过8天后是星期几，你知道吗？

课题

2018不方便求出8除以的余数，可以利用8=7+1，得到82018=(7+1)2018=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究

创设让学生用计算器计算

（课前要求学生准备计算器，平时在做题要求不能使用）

(ab)n?(nN*)

从特殊开始

由(a+b)=a+b

(a+b)=(a+b)×(a+b)=a+2ab+b; (a+b)=(a+b)×(a+b)=? 322221体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。

与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。

33223结果：

(ab)a3ab3abb问题情境

探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开引入式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

新课

①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3

②项的系数，考虑b，

学生说出自0a3：每个都不取b的情况有1种，即C3 ,考察学生对己的思路，老0则a3前的系数为C3

因式展开的师做分析与122恰有1个取b的情况有C3种，则ab前各项形式及ab：讲解为后面1系数的理解。

的系数为C3

猜想做铺垫。

2恰有2个取b的情况有C3

种，则b2前ab2：的系数为C3

b3：恰有3个取b的情况有C3

种，则b3前32的系数为C3所以

3 3

303122233

(ab)C3aC3abC3abC3b

学生先观察总结特点：

1.项数是指探究二：请同学们观察展开式中的项数、指数加1；

数变化以及系数变化，你发现了什么？由此让学生通过2.字母a按降猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指特例去观察幂排列，字母数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他相同之处与b按照升幂排不同之处，以列，二者指数们的展开式。

回答：

及不同之处之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

探究三：

对于猜想：

0n1n1knkk(ab)nCnaCnabCnabnnCnb(nN*)0413222344

的处理方法，(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b从而提出猜n0n1n1knkk(ab)CnaCnabCnab想。

nn*Cnb(nN) 师生讨论证

让学生体会明思路，通过

利用组合思阅读课本上想从特殊到的证明过程，一般，对猜想老师最后做给出严谨的出方法归类，证明过程。并提示学生证我们如何进行证明呢？

证明：每个(ab)(ab)n是n个(ab)相乘，在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ankn(k0,1,n)的理解如何用明的思路。并“说理”的方留下课下演nkk形式，对于每一项ab，它是由k个(ab)式阐述证明练二项式定bk选了b，n-k个(ab)选了a得到的，它出现过程。

的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组k合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开理的数学归纳法证明。

4

式，这就是二项式定理．

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

(1)项数：二项展开式共有n1项；

(2)项的次数：各项的次数都等于n；

且按照字母a降幂排列，次数由n递减到0；字母b升幂排列，次数由0递增到n 学生继续总结这三点，以考察学生的强化已有的观察力，以及认识，同时老分析问题的师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。

k(3)各项的二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

能力。

思考观察

学习新课

(4)二项展开式的通项：Ca第k+1项，用Tk1表示

试一试：

knnkb是展开式的k对二项式定令a=1,b=x. 写出

的展开式；

例题：求(12x)的展开式。

6(1x)n理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。

学生提出解决思路，老师5当堂练习：写出(2a3b)的展开式的第3解决问题时项。

的方法：赋值或是赋表达式。

2018年5月16日是星期三, 再过8是星期几，你知道吗？

破解20182018天后82018=(71)02018

2017破解疑惑让点评分析，怎学生感受计么才能被7整+…201720187C2018C2018

算的简单与除好计算呢?疑惑

快捷，增强对联想二项式02017120162016=7(C20187C20187…+C2018)+1

数学学习的定理的表达C20187C201871

即82018除以7余数是1。 2018热情，

形式，问题得到解决，留为课后计算。

故再过8天后的那一天是星期四。 精讲再探索对于(12x)5的展开式

精析

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多

熟悉二项式教师板演过定理，以及对程，给学生以二项式系数，示范，为后面5

巩固少？

展开式系数，步骤的整洁问题的理解与记忆。

熟悉二项式定理，二项式新知

思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 以及x的系数做铺垫。

课堂练习

反馈练习

2、求(y2x)的展开式的第三项

6系数，二项展学生自主练开式系数，以习，反馈教学及通项的初效果，老师巡步应用，理解视做个别辅二项式展开导。

式的项的顺序。

学生说，教师让学生回顾课件演示，并1、求(2xy)6的展开式的第三项

课堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点，观强调：二项式小结

呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？

察学生掌握系数与二项情况。

课本37页

习题1.3 A组 2、4 5课后探究：1、求(abc)的展开式中让学生巩固展开式系数的区别。

布置作业

abc的系数。

2、求(1

51)(x1)的展开式中含x3的系数。

x22本节课的所学内容和知识。

六、板书设计

1.3.1二项式定理

(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3n0n1n1knkknn*(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)432234(ab)4a4ab6ab4abb

(1)项：二项展开式共有n1项；

例题：

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；练习：

字母b按升幂排列，次数由0递增到n 作业：课本37页

习题1.3 A组 2、4

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k(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

课后探究：1、求(abc)5的展开式中a2b2c的系数。

512、求(1)(x1)的展开式中含x3的系数。

x七、教学反思

1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣—亲身体验，探索新知—合作探究，总结规律—典型例题分析—强化训练，巩固提升”五个环节层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。

2、以“问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个问题(ab)2?，(ab)3?开始，接着在(ab)4?，(ab)2016?，乃至(ab)n?的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。

3、让课堂“动起来，静下去”，

使得学生获得能力提升。

心理学家皮亚杰强调“认识起因于主各体之间的相互作用”，只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解。本节课遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”，教学中追求简易，重视直观，注重推理能力的训练，尽量创造学习环境，让学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用。

4、数学教学同时也是数学教育。要求以正确的核心价值观为指导，结合知识教学对学生进行情感、态度、价值观方面的教育与培养。

新授课既要关注学生数学学习的结果，还要关注他们数学学习的过程，以及他们在数学活动中所表现出来的情感态度。从学生的实际情况、个别差异与个性特点出发，有的放矢地进行有区别的教学，使每个学生都能扬长避短、获得最佳发展。遵循学生认知发展规律，按照最近发展区理论坚持从学生原有的认知结构出发，坚持循序渐进原则，又要灵活地恰当调整学科知识之间的逻辑体系，将学术形态的数学合理地转化为教育形态的数学，使认知规律要求与逻辑体系要求二者互相协调。

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