2.基本不等式优质教案设计

基本不等式教学设计

一

教材分析

基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。

1．课标对本节课的要求：

①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。

2. 对教材中本节课的内容安排特点的理解



课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。



教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。



课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣。



教科书更加注重学生数学思维的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高。

二

学情分析

学生在初中学***方公式、圆，初步认识了不等式。同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

三

教学目标

1 知识与技能：

使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。

2 过程与方法：

通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

3

情感态度与价值观：

在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良

好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

四

重点及难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程。

2ab等号成立条件。

2难点：基本不等式ab五

教学过程

1.创设情景，提出问题；

右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色

明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问1]你能从中找出一些相等和不等关系吗？

背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，

抽象出不等式ab222ab。在此基础上，引导学生

认识基本不等式。

2.抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2b2ab2，当且仅当a＝b时，等号成立。

[问2]

你能给出它的证明吗？

（

学生在黑板上板书）

利用不等式：4+9≥12,

（

2+3≥？）找出类比方法

特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab222ab中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。

【归纳总结出基本不等式】

如果a,b都是正数，那么abab2，当且仅ab当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中2称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

3.

探究基本不等式证明方法：

[问3]

如何证明基本不等式？

（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华）

方法一：作差比较或由(ab)20展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法

4.基本不等式的进一步理解：



文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。



联想数列的知识理解基本不等式：

已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。



符号语言叙述：

若a0,b0，则有abab2，当且仅当a=b时，。

abab2

[问4]怎样理解“当且仅当”？



探究不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探abab(a0,b0)2究不等式，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步理解等号成立条件。如图直径AB，点C是AB上一点，AC=a,CB=b，CD=ab

几何解释：在同一个圆中，半弦不大于半径；

直角三角形斜边的一半不小于斜边的高。

5.例题及变式讲解与应用

（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

得出结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。

2应用：

1.若x0，则yx1x的最小值。

baya0,b0,则ab的最小值。

2.若

3.若x0，则y3x12x的最小值。（若改为x≥3呢？）（设计目的：等号成立条件）

（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

得出结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。

（3）例题变式：用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

应用：1.已知0x1，求函数yx(1x)的最大值。

12，求函数

2.已知0xyx(12x)的最大值。（设计目的：配凑成定值）

应用重点：

一正

二定

三相等

6、课堂小结

1. 两个不等式

22a,bR,ab2ab

（当且仅当ab时取“=”（1）若那么）

ab（2）ab(a0,b0)2当且仅当a=b时，等号成立。

注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。

2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。

7.布置作业：课本100页习题3.4 A组1,2. 六

教学反思

教师要把教研作为自己的生活方式，在理解数学、理解学生、理解教学上不断取得进步。所以，促进学生对数学思想方法的理解，提高学现了基本不等式。

在对基本不等式的证明过程中，学生对数学知识的产生、发展、演变的探究兴趣

，应该是我们新授课不懈的追求

。

我认为，一节好的数学课，要有‘小巧简单的知识源头、准确严谨的发展方向、欢快流畅的思维流淌”。

本节课试图以此为基本理念进行教学，紧扣以下三个目标：一是理解基本不等式背景和特征，

二是以基本不等式为载体，体会证明不等式的思想方法，

三是初步会用基本不等式解决简单的最值问题，

以“问题情境为源头，

学生自主探究为主流，教师引导为方向”进行教学设计，实施教学活动。力求通过多种证明方法的探究

，体会数学的严谨和多元表征，加深学生的数学理解

。并力求揭示基本不等式的本质，提高学生严谨论证的能力，

让课堂探究自主地展开，让学生思维自由地流淌，让数学思想自然地形成。