2.基本不等式多媒体教案及点评

基本不等式：ab≤a＋b

2第1课时

基本不等式

教学目标：

1.理解基本不等式的内容及导出过程．

2．能初步运用基本不等式证明简单的不等式

教学重点：基本不等式推导和简单运用

教学难点：对基本不等式的几何意义的理解

教学设计：

一、自主学习

1.重要不等式：对于任意实数a,b，有ab____2ab，当且仅当________时，等号成立.

22

2.基本不等式：设a,b(0,)，则3．算术平均数与几何平均数

(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_______，几何平均数为___________．

(2)基本不等式可叙述为_____________________ 4．由基本不等式变形得到的常见的结论

a＋ba＋ba＋b(1)ab≤≤；(2)ab≤≤

2222ab_____ab，当且仅当____时，不等式取等号.

222a2＋b2(a，b均为正实数)；

211ba(3)＋≥2(a，b同号)；(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b均为正实数)；

ab(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 5．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(

)(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.(

) a＋b(3)若a>0，b>0，则ab≤2.(

) 5．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是_________________ 6．已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

) 112baA．a2＋b2>2ab

B．a＋b≥2ab

C.＋>

D.＋≥2 ababab7．若a>0，b>0，则a与b的等差中项________a与b的等比中项(填“不小于”“不大于”)．

2二、典型例题

探究点一

对基本不等式的理解

例1.

下列结论正确的是(

)

A．当x>0且x≠1时，lg x＋11≥2

B．当x>0时，x＋≥2 lg xx11C．当x≥2时，x＋的最小值为2

D．当0

xx方法归纳：

应用基本不等式时的三个关注点

(1)一正数：指式子中的a，b均为正数．

(2)二定值：只有ab或a＋b有一个为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．

(3)三相等：即“＝”必须成立，求出的定值才是要求的最值．

探究点二

利用基本不等式证明不等式

例2：

（1）已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 111（2）已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. abc

方法归纳：

使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．

三、

跟踪训练

1．若0

2.设0

) a＋ba＋ba＋ba＋bA．a

B．a

C．a

D.ab

22223．若a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ac. 四、知识小结;学生结合检测题总结

五、课时作业

11.不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(

) x－2yA．x≥2y，x－2y＝1

B．x>2y，x－2y＝1

C．x≤2y，x－2y＝1

D．x<2y，x－2y＝1

2.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(

)

a＋da＋da＋da＋dA.>bc

B.

C.＝bc

D.≤bc

2222

3．若a＋b＝1，恒有(

) 11A．ab≤

B．ab≥

C．a2b2≤16

D．以上均不正确

444．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(

) 11111111A.＋<1

B.＋≥1

C.＋<2

D.＋≥2 abababab5．已知a＞0，b＞0，则a＋b＋6给出下列不等式：

1x2＋y2x2＋y2|x＋y|1①x＋≥2；②x＋x≥2；③≥2；④>xy；⑤≥|xy|. xxy22其中正确的是________(写出序号即可)．

117.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④＋≥ab2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)

8设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：

1a2b2c2(1)ab＋bc＋ac≤；

(2)＋＋≥1. 3bca9．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1. 111求证：a＋b＋c＜＋＋. abc

10.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

111(1)＋＋≥8；

abab111＋1＋≥9.

(2)ab1的最小值为________．

ab