1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

商

丘

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一

高

徐 杰

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二项式定理

教学目标：

知识与技能：理解二项式定理是代数乘法公式的推广；理解并掌握二项式定理，能利用计数原理说明二项式定理。

过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，体验二项式定理

的发现和创造过程，体会数学公式的对称美、和谐美。

教学重难点：

重点：用计数原理分析(ab)2展开式，得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

教学过程：

一、复习回顾：

情境引入

(1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢?（星期一）

(2)如果是15天后的这一天呢？（星期二）

(3)如果是23天后的这一天呢？（星期三）

(4)如果是82012天后的这一天呢？

需要找到除以7之后的余数，怎么才能找到？（可通过82012172012）

要得到这个结果，需要分析(ab)n的展开式。（引入课题）

二、讲解新课；

探究一：(ab)2展开过程

ab2a22abb2

ab2(ab)(ab)

用多项式乘法法则来计算，(ab)2是2个(ab)相乘得到，每个(ab)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(ab)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。

a2可以看成a2b0，ab可以看成a1b1，ba可以看成b1a1，b2可以看到a0b2。a的幂数降的同时b的幂数在升。最高次数都是2，可以用数字与字母的结合来表示：a20b0、a21b1、a22b2。用一个式子来表述所有项的规律可表示为a2kbk。

由于每个(ab)因式中，只有两种选择，可选a或b。只要b确定a也随之确定。跟椐k的取值分析各项的系数，从而得到02122(ab)2C2aC2abC2b。

探究二：类比(ab)2的展开过程从而总结出：

ab3a33a2b3ab2b3；

ab4a44a3b6a2b24ab3b4。

探究三：(ab)n展开式及规律

1n1abCn2an2b2CnranrbrCnnbn(nN)

猜想：(ab)nCn0anCn证明：由于(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时有两种选择，

选a或b，而且每个(ab)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一

项，因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(ab)n的展开式共有2n项，其中每一项都是ankbk(k0,1,,n)的形式。

对于某个k(k0,1,2,,n)，对应的ankbk是由nk个(ab)中选a，k个(ab)中选b得到的。由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，kankbk出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn。这样，k个，将它们合并同类项，就可以得(ab)n的展开式中，ankbk共有Cn到二项展开式：

0n1n1(ab)nCnaCnabknkkCnabnnCnb.

上述公式叫做二项式定理。

注释：1、二项展开式有n1项

2、二项式系数Cnkk0,1,2,,n

3、二项展开式的通项Tk1Cnkankbk

4、按字母a的降幂排列，b的升幂排列,

a、b的次数之和为n

5、字母a、b的任意性。

01kknn(1x)nCnCnxCnxCnx

三、讲解范例

例1：求(2x16)的展开式。

x解法一：由二项式定理得

(2x1611012)C6(2x)6C6(2x)5()1C6(2x)4()2

xxx13111456)C6(2x)2()4C6(2x)1()5C6()6

xxxx

C63(2x)3(

64x3192x2240x16060121.

xx2x3解法二：先将原式化简，再展开，得：

(2x162x161)()3(2x1)6

xxx1123456[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)C6]

3x60121

64x3192x2240x16023.

xxx

变式练习：求(2x(2x16)的展开式。

x1660121)64x3192x2240x16023.

xxxx123n例2：化简12Cn4Cn8Cn2nCn.

123nn解：12Cn

4Cn8Cn2nCn(12)n3.引言：今天星期一，那么82012天后是星期几？

82012(17)2012

012C2012C20127C2012721217(C2012C20127kC20127k20122012C20127

k20122011C20127k1C20127)

余数为1，所以是星期二。

四、课堂检测

跟据例题同桌之间互出一题，求二项式的展开式。

五、课堂小结

知识层面：

1.

二项式定理 1n1abCn2an2b2CnranrbrCnnbn(nN)

(ab)nCn0anCn2.

二项式通项 Tk1Cnkankbk

方法层面：

观察――归纳――猜想――证明

六、作业

必做题：

课本37页1、2、3

选做题：

2x)6展开式中第4项的系数，（1）求(含x2项二项式的系数

1x（2）求(x2yz)6展开式中x2yz3的系数。

拓展探究：

（1）上网搜索学习有资料：推广后的牛顿二项式定理。

（2）继续探究二项式定理，还能得到什么规律；

（3）尝试用数学归纳法证明二项式定理