小结优秀教学设计

§

3.4

基本不等式abab

2邢台一中

吕军朝

一、教材分析

本节课选自人教A版·数学（必修5）第三章第4节第一课时，主要内容为基本不等abab式ab的推导与简单应用．在基本不等式ab的推导过程中渗透了分析法的解22题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养．

二、学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

三、教学目标

1 知识与技能

①、探索并了解基本不等式的证明过程；

②、了解基本不等式的代数及几何背景；

2 过程与方法

通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对基本不等式的应用，培养学生的推理论证能力及灵活运用数学知识、思想和方法提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3 情感、态度与价值观

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神。

四、教学重、难点

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程。

教学难点：数形结合的思想理解基本不等式。

五、教学方法

问题引导、启发探究和归纳总结相结合

六、教学过程

1 教学流程

创设情境，引入新课

问题探究，解疑答惑

发现运用，智慧闪光

归纳总结，布置作业

2

教学过程

教学

环节

教学程序及设计

●右图是在北京召开的第24界国际

数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

★★★探究一a2b22ab(a,bR)

现将图中的“风车”抽象成右图，

设计意图

创设

情境

引入

新课

问题

探究

解疑

答惑

问题

探究

解疑

答惑

古代数学的智慧

创设情境

引入新课

●问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面从生活到课堂

积，你能找到怎样的不等关系？

设置明确的问题，引导学生思考

S四个三角形2ab

S大正方形a2b2

22

ab2ab

培养观察和分析●问题2、随着a,b取值的变化，上式一定成立吗？有问题的能力

没有其他情况？

展开讨论和思考

生：当ab时

22

ab2ab

●问题3、你得到了怎样的结论？a,b的范围能扩展在分析中结论得到完善，严谨的数吗？你能给出证明吗？

学思想，从猜测到

a2b22ab

(a,bR)

科学的证明

ab时“”成立

当且仅当

展示学生解答

生：作差分析证明

情况，给于肯定

●问题4、我们提到了“当且仅当”，你怎么理解？

学生讨论，

生：小组讨论，合作归纳

教师补充

问题

探究

解疑

答惑

问题

探究

解疑

答惑

公式的变通

D得到基本不等式

●问题5、如果用a,b去替换上

述结论中的a,b，则得到了FAGEC

什么结论？

H分析法证明思想

ab2ab

(a0,b0)

的渗透

一般写作

B

ab

ab

(a0,b0)

学生思考

2并给出证明

当且仅当ab时“”成立

称为基本不等式

多角度解释，数形●问题6、你能给出证明吗？

结合思想的应用

ab

要证：ab

2

只要证：ab_______

只要证：ab_______0

只要证：（__-__)20

显然上式成立.

当且仅当ab时“”成立

引导学生

●

问题7、你知道基本不等式

观察、思考、展示、的几何意义吗？

质疑、补充，大胆D

发表自己见解，提

出独到想法，促进B A 课堂互动生成。

C O

几何解释：如图，AB是圆O

E 的直径，点C是AB上一点，

形成结论

ACa，BCb．过点C作垂直

于AB的弦DE，连接AD,BD．

辩疑解惑

则圆的半径长为

，

半弦长CD等于

,由图形可知两者间有怎样的

不等关系？

所以基本不等式的几何意义是:___________________。

★★★探究二abab(a0,b0)

2

★★★探究三、发现与运用

发现

运用

智慧

闪光

问题设置，注重知1例：已知x0,证明x2并说明等号成立的条件。

识的产生过程

x

让学生体会发现思考1）若去掉x0,对结论有何影响？

知识的乐趣

ba分层完成，小组讨思考2）2成立吗？

ab论，使学生体会概念

应用模式，学会捕捉1解题切入点。

思考3) 试证明x3(x1)

x1

感受成果初步应

用. ●归纳小结，反思提高

比较两个不等式，有何异同？

a2b22ab

符号语言

适用范围

a,bR

小结

归纳

布置

作业

abab

2a0,b0

两数的平方和两正数的算术文字叙述

不小于它们的平均数不小于乘积的两倍

ab

它们的几何平均数

ab

等号成立条件

●作业布置

必做题：

预习课本例题并思考基本不等式的应用

拓展作业：几何解释法是一种很好的证明不等式的方法，你能利用其他几何图形来证明这两个不等式吗？

3.4基本不等式

一、不等式

二、基本不等式

课堂小结

板书设计本着简洁

ab板书

a2b22ab

ab

大方,突出重点的原

2则

作业

设计

①

证明

⒈

②几何意义

⒉

七、

教学反思

1.本节课强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性。

2.让学生真正参与其中；对整个基本不等式的来龙去脉包括对基本不等式语言叙述、符号表示、证明、几何解释与学生一起经历，使学生不仅知其然，而且还知其所以然。

3.多媒体手段等的应用，调动了学生的兴趣。教师要把握好多媒体应用的“度”，发挥其辅助教学的作用。

学生总结，

并补充完善

知识系统的

构建完成

分层布置作业，使不同程度的学生都有发展空间