1.3 实习作业教学实录及点评

与三角形有关的最值（取值范围）问题教学设计

一、学情分析

学生经过前面的复习已经具备了解决解三角形相关内容一定的基础知识、方法，对该板块内容在高考中的考核已有了较为深刻的理解。但，通过平时的交流、观察发现学生对与三角形有关的最值（取值范围）问题理解不够透切，未能熟练解决相关问题，故本节课就该内容与学生进行深入探究，巩固提高。

二、设计思想

本节课采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和交流合作为前提，以问题为导向设计教学情境，以“三角形有关的最值（取值范围）问题”为探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难析疑的尝试活动，在知识的形成、发张过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

三、教学目标：结合考情，掌握与三角形有关的最值、范围问题；

教学重点：利用基本不等式或三角函数性质求最值；

教学难点：建立目标函数如何选用适当方法求最值。

四、教学过程

（一）、考情分析 把握方向

“与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周长等)的最大、最小问题。(2015·全国Ⅰ卷T16、2014·全国Ⅰ卷T16、2013·全国Ⅱ卷T17)

1

解

考纲要求

真题统计

2017年全国I卷T17；2017年全国II卷T17；2017年全国III卷T17；2016年全国I卷T17；2016年全国II卷T13；2016年全国III卷T8；2015年全国I卷T16；2015年全国II卷T17；2014年全国I卷T16；2014年全国II卷T4；2013年全国I卷T17；2013年全国II卷T17。

命题规律

近年五年命题规律：解三角形为每年必考题。重点考查正、余弦定理及三角形面积公式的应用。解三角形常与三角恒等变换交汇命题，考查与三角形有关的最值、范围等综合问题。

锁定题型

1、本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，难度为基础题和中档题，分值为5到12分。

三

掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用正弦定理、余角

弦定理解决三角形。本节内容是三形角函数知识、三角

形知识、平面向量

知识、不等式知识

的综合考查，在考

纲中要求“掌握”，属最高级别要求。同时解三角形也穿插于立体几何、解析几何以及实际问题当中。

设计意图：回顾高考，展现未来，体会该内容在高考中的重要位置，引起学生的高度重视。

教学手段：多媒体展示、学案展示

（二）、知识回顾

解三角形基本知识：

1.正弦定理：abc2R(R为ABC外接圆半径)；

sinAsinBsinCa2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

sinA2abc,sinB,sinC

2R2R2R22b2c2a22.余弦定理：

abc2bccosA，cosA

2bc3.面积公式：S111absinCbcsinAacsinB

2224.内角和定理：ABC

sinABsinC，cosABcosC，tanABtanC

5.三角函数、三角恒等变换等内容。

（二）求最值（取值范围）常用方法：

1.函数（讨论单调性等）；

2

｜sinx｜1,｜cosx｜1

2.正弦函数和余弦函数的有界性：3.不等式（基本不等式、柯西不等式等） 4.数形结合（利用约束条件、目标函数的几何意义）

设计意图：回顾知识，构建学生知识体系。

教学手段：学生完成学案对应部分，教师多媒体展示。

三、典例导思 掌握方法

【典题】

(本小题满分12分)(2013·全国Ⅱ卷) △ABC的内角A，B，C①的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.②

(1)求B； (2)若b＝2，③求△ABC面积的最大值.④ [审题指导] 题眼

①

挖掘关键信息

看到△ABC的内角A，B，C，

想到A＋B＋C＝π. 看到a＝bcos C＋csin B，

想到三角形的正弦定理(边化角)，想到三角恒等变换. 看到b＝2，

想到(1)及余弦定理. 看到△ABC的面积的最大值，

想到面积公式及不等式放缩. ②

③

④

设计意图:引导学生审题，充分发掘题干中条件，为后面的解答作充分准备。

教学手段：教师讲授

[规范解答] 解：(1)由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，

代入已知得sinAsinBcosCsinBsinCⅠ，…………………2分

A又ABC,sinAsinBcosCcosBsinCⅡ，

ⅠⅡ得sinBsinCcosBsinC，

⑤bcaBC又C0，，sinC0，得sinBcosB，tanB1，…………5分

3

⑤又B（0，）B4………………………………………………6分

注意：⑤忽视三角形内角和定理导致无法求解.

12 (2)

ABC面积

SacsinBac………………………………7分

24由余弦定理得：4a2c22accos4………………………………8分

4a2c2－2ac2ac－2ac（2－2）ac⑥

ac4，当且仅当ac时等号成立……………………………10分

2－2因此，ABC面积的最大值为2421……………………12分

4222ab注意：⑥不等式a2b22ab及ab是用余弦定理求最值的切入点.

2感悟：1.审题细致，逐个条件分析；

2.规范表达，注意易错点；

3.熟记基础知识，灵活运用基本方法。

设计意图：展示规范作答过程、评分标准，引导学生规范作答

引导学生归纳、总结基本知识、方法，帮助学生构建知识网络。

教学手段：教师讲授、多媒体展示

四、变式训练

理解本质

变式1：在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2CsinAsinB

1求C；2若c4,求ab的最大值。

解：1sinAsinBsinCsinAsinB，222AbcaB abcab

222cosCabc1,又cosC0，，C

2ab232222C2c4,16a2b2abab3ab

212ab

又ab，16ab，42ab8，其中ab4时等号成立,

4

ab的最大值为8.

法2：由正弦定理得aabc83

2R，sinAsinBsinC38383sinA，bsinB，

33A83832absinAsinBsinAsinA，

3338322

sinAsincosAcossinA333bcaBC833331(sinAcosA)8(sinAcosA)8sinA，

3222262又A0，3A5，A+，666

2,即ab4时，ab的最大值为8.

3感悟：根据题目结构特点选择适当的解决最值问题的方法

设计意图：让学生熟练用不同的方法解决三角函数最值问题

教学手段：学生展示，教师点评

变式2：在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2CsinAsinB

1求C；2若c4,求分析：2ABC面积的最大值。

SABC113absinCabsinab

2234由余弦定理得16a2b2abab

SABC3ab43

4ABC当且仅当ab4时，S面积的最大值为43.

五、当堂落实 巩固提高

1.（2014年全国新课标1，理16）

已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，a2,

且2bsinAsinBcbsinC,则ABC面积得最大值为_______。【答案】3

5

分析：由a2且2bsinAsinBcbsinC，得absinAsinBcbsinC，

A

Cababcbc，得b2c2a2bc，222bcaBbca1cosA，又A（0，）A,2bc23

又b2c2bca24bc，SABC11bcsinAbcsin3.223

2.（2011年全国新课标1，理16）在ABC中，B＝600，AC＝3，则AB2BC的最大值为_____.

ABBCAC3分析：根据正弦定理得：20sinCsinAsinBsin60

所以

BC2sinA,AB2sinC2sin(1200A)2(sin1200cosAcos1200sinA)3cosAsinAAB2BC3cosAsinA4sinA5sinA3cosA

53(sinA22527cosA33)27sin(A)，其中，tan527因此AB2BC的最大值为27

2解法2：设ABc，ACb，BCa，由余弦定理得

bac2accos60acac33①

222022设AB2BCc2am0，则cm2a,代入①得：7a25amm230

这个关于a得一元二次方程有解，所以25m228(m23)3(m228)0，

所以0m27，当m27时，=0,a因此AB2BC的最大值为27

6

5747,c符合题意，

77

山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

六、学有所得（本节收获）：

解三角形基本知识：

1.正弦定理：abc2R(R为ABC外接圆半径)；

sinAsinBsinCa2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

sinA2abc,sinB,sinC

2R2R2R22b2c2a22.余弦定理：

abc2bccosA，cosA

2bc3.面积公式：S111absinCbcsinAacsinB

2224.内角和定理：ABC

sinABsinC，cosABcosC，tanABtanC

5.三角函数、三角恒等变换等内容。

（二）求最值（取值范围）常用方法：

1.函数（讨论单调性等）；

｜sinx｜1,｜cosx｜1

2.正弦函数和余弦函数的有界性：3.不等式（基本不等式、柯西不等式等） 4.数形结合（利用约束条件、目标函数的几何意义）

设计意图：落实基础，巩固提高，完善知识网络

教学手段：学生总结，教师多媒体展示

七、作业巩固 课外拓展

1、(2017·石家庄一模)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且sinCab。

sinAsinBac(1)求角B的大小；(2)点D满足BD2BC，且AD3，求2ac的最大值。

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osBbcosA2.设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acc3。

(Ⅰ)求tanAtanB的值； (

5Ⅱ)求tan(AB)的最大值。

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