实习作业教学评价实录

2.3

变量间的相关关系

2.3.1

变量之间的相关关系

2.3.2

两个变量的线性相关

1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点) 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点) 4．相关关系与函数关系．(易混点)

[基础·初探] 教材整理1

变量之间的相关关系

阅读教材P84～P86的内容，完成下列问题．

1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．

2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．

4．相关关系与函数关系的辨析

相关关系与函数关系均是指两个变量间的关系，它们的不同点如下：

(1)函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系，即不能用一个函数关系式来严格地表示变量之间的关系．

(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会更多的新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些以后，他们的阅读能力会提高，而且脚也会变大．

如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．

图2-3-1 【解析】

①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．

【答案】

①④

教材整理2

回归直线方程

阅读教材P87～P89的内容，完成下列问题．

1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

3．最小二乘法：求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

4．求回归方程：若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)，^^^^^(x2，y2)，…，(xn，yn)，则所求的回归方程为y＝bx＋a，其中a，b为待定的参数，由最小二乘法得：

－

x－xy－yxy－n－xy^b＝＝，－

x－xx－nx^^x.a＝y－bnniiiii＝1i＝1ni2n2i2i＝1i＝1

^^b是回归直线斜率，a是回归直线在y轴上的截距．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)回归方程中，由x的值得出的y值是准确值．(

) (2)回归方程一定过样本点的中心．(

) (3)回归方程一定过样本中的某一个点．(

) (4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4) ×

2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是(

) ^A.y＝1.75＋5.75x

^C.y＝5.75＋1.75x

^B.y＝－1.75＋5.75x

^D.y＝5.75－1.75x

【解析】

求过三点的回归直线方程，目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式．代入系数公式^^^得b＝1.75，a＝5.75.代入直线方程，求得y＝5.75＋1.75x.故选C. 【答案】

C 3．已知x与y之间的一组数据：

x y 0

1

1

3

2

5

3

7

4 9 ^则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点(

) A．(1,2) C．(2,5) B．(5,2) D．(2.5,5)

【解析】

线性回归方程一定过样本中心(x，y)．

由x＝0＋1＋2＋3＋41＋3＋5＋7＋9＝2，y＝＝5. 55故必过点(2,5)．

【答案】

C

[小组合作型]

相关关系的判断

(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系(

) A．正方体的棱长和体积

B．圆半径和圆的面积

C．正n边形的边数和内角度数之和

D．人的年龄和身高

(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(

)

图2-3-2 A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

【精彩点拨】

结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．

【尝试解答】

(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于D，年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选

D. (2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．

【答案】

(1)D

(2)C

判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.

[再练一题] 1．某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：

年份

利润x 支出y 2011

12.2

0.62

2012

14.6

0.74

2013

16

0.81

2014

18

0.89

2015

20.4

1

2016 22.3 1.11 A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系

B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系

C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系

D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系

1【解析】

由表知，利润中位数是2(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C. 【答案】

C

求回归直线方程

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：

零件数x(个)

加工时间y(分)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 62

68

75

81

89

95

102

108

115

122

(1)y与x是否具有线性相关关系？

(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．

【精彩点拨】

画散点图→确定相关关系→求回归直线系数

→写回归直线方程

【尝试解答】

(1)画散点图如下：

由上图可知y与x具有线性相关关系．

(2)列表、计算：

i xi

yi

xiyi

1

10

62

620

2

20

68

1 360

3

30

75

2 250

4

40

81

3 240

5

50

89

4 450

6

60

95

5 700

7

70

102

7 140

8

80

108

8 640

9

90

115

10 350

10 100 122 12 200 x＝55，y＝91.7，

101022＝xi＝38 500，yi＝87 777，xiyi＝55 950 i＝1i＝1i＝110^b＝i＝1xiyi－10x

yx2i－10x21010＝55 950－10×55×91.7≈0.668，

38 500－10×552i＝1^^a＝y－bx＝91.7－0.668×55＝54.96. ^即所求的回归直线方程为：y＝0.668x＋54.96.

用公式求回归方程的一般步骤：1列表xi，yi，xiyi；2计算x，y，；

^^3代入公式计算a，a的值；4写出回归方程.

[再练一题] 2．已知变量x，y有如下对应数据：

x y (1)作出散点图；

(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．

【解】

(1)散点图如图所示：

1

1

2

3

3

4

4 5

(2)x＝y＝41＋2＋3＋45＝2，

41＋3＋4＋513＝4，

4i＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39，

4i＝1x2i＝1＋4＋9＋16＝30，

51339－4×2×4530－4×22^b＝13＝10，

^13135a＝4－10×2＝0，

^13所以y＝10x为所求回归直线方程．

利用回归方程对总体进行估计

下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

^^^(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

【精彩点拨】

(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；

^^(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的v的值．

【尝试解答】

(1)散点图，如图所示：

(2)由题意，得xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

i＝14x＝y＝3＋4＋5＋6＝4.5，

42.5＋3＋4＋4.5＝3.5，

4

i＝12222x2i＝3＋4＋5＋6＝86，

4^66.5－4×4.5×3.566.5－63∴b＝＝＝0.7，

86－4×4.5286－81^^a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

^故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，

故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．

回归分析的三个步骤：

1判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；2求线性回归方程，注意运算的正确性；

3根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.

[再练一题] 3．某种产品的广告费支出y(百万元)与销售额x(百万元)之间的关系如下表所示．

x y 8

5

12

8

14

9

16 11 (1)假定y与x之间存在线性相关关系，求其回归直线方程．

(2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？

^^^^【解】

(1)设回归直线方程为y＝bx＋a，则b＝8＋12＋14＋165＋8＋9＋118×5＋12×8＋14×9＋16×11－4××44＝

8＋12＋14＋16282＋122＋142＋162－4×4

^438－412.525.551^5＋8＋9＋11518＋12＋14＋16＝35＝70，a＝y－bx＝－70×＝44660－625^33512565164－70×2＝－7，则所求回归直线方程为y＝70x－7. 5164 260(2)由y＝70x－7≥60，得x≥51≈84，所以实际销售额不少于84百万元．

[探究共研型]

散点图的特征

探究1

任意两个统计数据是否均可以作出散点图？怎么根据散点图判断变量之间的关系？

【提示】

任意两个统计数据均可以作出散点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系．

回归直线的特征

探究2

如何画回归直线？

【提示】

(1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致．

(2)将n个数据点描在平面直角坐标系中．

(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上．

^探究3

回归系数b的含义是什么？

^【提示】

(1)b代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．

^(2)当b＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均^增加b个单位数；

^当b＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均减^少b个单位数．

^

探究4

回归直线方程与直线方程的区别是什么？

【提示】

线性回归直线方程中y的上方加记号“^ ”是与实际值y相区别，^因为线性回归方程中的“y”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它^具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y的值只是比较接近，但存在^^一定的误差，即y＝y＋e(其中e为随机变量)，预测值y与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．

已知x与y之间的几组数据如下表：

x y 1

0

2

2

3

1

4

3

5

3

6 4 ^^^假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是

(

) ^^A.b>b′，a>a′

^^C.ba′

^^B.b>b′，a

^^D.b

^^【精彩点拨】

先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由b，a的计算公^^式分别求解b，a的值，即可作出比较．

【尝试解答】

根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小．

由(1,0)，(2,2)求b′，a′. 2－0b′＝＝2，

2－1a′＝0－2×1＝－2. ^^求b，a时，

i＝1xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

13x＝3.5，y＝6，

6

i＝1x2i＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

1358－6×3.5×691－6×3.526^∴b＝5＝7，

1351^135a＝6－7×3.5＝6－2＝－3，

^^∴ba′. 【答案】

C [再练一题] 4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根^据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x，y) C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg ^【解析】

b为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170 cm，则可估计其体重为58.79 kg. 【答案】

D

^1．设一个回归方程y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(

) A．y平均增加1.2个单位

C．y平均减少1.2个单位

【解析】

由b＝1.2>0，故选A. 【答案】

A 2．下列有关线性回归的说法，不正确的是(

) A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系B．y平均增加3个单位

D．y平均减少3个单位

叫做相关关系

B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图

C．回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系

D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线

【解析】

只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．

【答案】

D 3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(

) ^A.y＝0.4x＋2.3

^C.y＝－2x＋9.5

^B.y＝2x－2.4 ^D.y＝－0.3x＋4.4 【解析】

因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A. 【答案】

A 4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．

x y 2

30

4

40

5

60

6

50

8 70 若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.

2＋4＋5＋6＋8【解析】

由题意可知x＝＝5，

5y＝30＋40＋60＋50＋70＝50. 5即样本中心为(5,50)，

^^设回归直线方程为y＝6.5x＋b，

∵回归直线过样本中心(5,50)，

^^∴50＝6.5×5＋b，即b＝17.5，

^∴回归直线方程为y＝6.5x＋17.5.

^【答案】

y＝6.5x＋17.5