小结教学设计思路

题型一

独立性检验思想

独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的值很大，则在一定程度上说明假设不合理. 例1

为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果.(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积

频数

[60,65)

30

[65,70)

40

[70,75)

20

[75,80) 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积

频数

[60,65)

10

[65,70)

25

[70,75)

20

[75,80)

30

[80,85) 15 完成下面2×2列联表，试问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

表3：

注射药物A 注射药物B 合计

解

列出2×2列联表

注射药物A 注射药物B 合计

2疱疹面积小于70 mm2

疱疹面积不小于70 mm2

合计

a＝

c＝

b＝

d＝

n＝

疱疹面积小于70 mm2

疱疹面积不小于70 mm2

a＝70

c＝35

105

b＝30

d＝65

95

合计

100 100 n＝200 200×70×65－35×302χ＝≈24.56，

100×100×105×95由于χ2>6.635，所以有99%的把握认为两者有关系，或者说在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.

反思与感悟

利用假设检验的思想，计算随机变量χ2的值，可以更精确地判断两个分类变量是否有关系. 跟踪训练1

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生

女生

合计

喜爱打篮球

10

不喜爱打篮球

5

合计

50 3已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为. 5(1)请将上面的列联表补充完整；

(2)是否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢打羽毛球，B1，B2，B3还喜欢打乒乓球，C1，C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率. 解

(1)列联表补充如下：

男生

女生

合计

2喜爱打篮球

20

10

30

不喜爱打篮球

5

15

20

合计

25 25 50 50×20×15－10×52(2)∵χ＝≈8.333>6.635，

30×20×25×25

∴有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，(A4，B1，C1)，(A4，B1，C2)，(A4，B2，C1)，(A4，B2，C2)，(A4，B3，C1)，(A4，B3，C2)，(A5，B1，C1)，(A5，B1，C2)，(A5，B2，C1)，(A5，B2，C2)，(A5，B3，C1)，(A5，B3，C2)，

基本事件的总数为30. 用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件M表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于M由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)共5个基本事件组成，所以P(M)＝51＝. 30615由对立事件的概率公式得P(M)＝1－P(M)＝1－＝. 66题型二

数形结合思想

在回归分析中，我们可以使用散点图观察两个变量间的相关关系，也可以大致分析回归方程是否有实际意义，这就体现出我们数学中常用的数形结合思想. 例2

某城区为研究城镇居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：

月人均收入x(元)

月人均生活费y(元)

月人均收入x(元)

月人均生活费y(元)

(1)作出散点图；

(2)求出回归直线方程；

(3)试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月人均生活费. 解

(1)作出散点图如图所示，由图可知月人均生活费与月人均收入之间具有较强的线性相关关系. 300

255

700

520

390

324

760

580

420

335

800

600

520

360

850

630

570 450 1 080 750

(2)通过计算可知x＝639，y＝480.4，

102∑xi＝4 610 300，∑xiyi＝3 417 560，

i＝1i＝110^10∴b

＝i＝1∑xiyi－10x

y2∑xi－10i＝110^^x^2≈0.659 9，a

＝y－b

x＝58.723 9，

∴回归直线方程为y

＝0.659 9x＋58.723 9. (3)由以上分析可知，我们可以利用回归直线方程

^y

＝0.659 9x＋58.723 9来计算月人均生活费的预报值. 将x＝1 100代入，得y≈784.61，

将x＝1 200代入，得y≈850.60. 故预测月人均收入分别为1 100元和1 200元的两个家庭的月人均生活费分别为784.61元和850.60元. 跟踪训练2

对变量x，y有观测数据(xi，yi) (i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi) (i＝1,2，…，10)，得散点图2.其相关系数分别为r1，r2，由这两个散点图可以判断(

)

A.r1>0，r2>0

C.r1<0，r2>0

答案

C 题型三

转化与化归思想在回归分析中的应用

回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题. 例3

在试验中得到变量y与x的数据如下表：

x y 19

4

23

11

27

24

31

109

35 325 B.r1>0，r2<0 D.r1<0，r2<0 试求y与x之间的回归方程，当x＝40时，预测y的值. 解

作散点图，如图.

从图中可以看出，这些点分布在某条指数函数y＝c1ec2x的周围. 现在，问题变为如何估计待定参数c1，c2，可通过对数变换把指数关系变为线性关系，那么令z＝ln y，则z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2). 列表如下：

x z 作散点图，如图. 19

1.386

23

2.398

27

3.178

31

4.691

35 5.784

从图中可以看出x与z有很强的线性相关性. ^由上表中的数据得到回归直线方程z＝0.277x－3.998. 所以，变量y关于x的回归方程为y＝e0.277x即当x＝40时，y的值约为1 190. 反思与感悟

若两个变量非线性相关，可以通过散点图观察确定用幂函数、指数函数、对数函数、二次函数模型来拟合两个变量间的关系，然后通过变换转化为线性相关问题. 跟踪训练3

在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量. x/min

y/mg

1

39.8

2

32.2

3

25.4

4

20.3

5

16.2

6 13.3 ^－3.998. (1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；

(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1). 解

(1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得

x y z ^1

39.8

3.684

^2

32.2

3.472

3

25.4

3.235

4

20.3

3.011

5

16.2

2.785

6 13.3 2.588 由公式得a

≈3.905 5，b

≈－0.221 9，

^则回归直线方程为z

＝3.905 5－0.221 9x.

而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，

故c≈49.675，d≈0.801，

所以c和d的估计值分别为49.675，0.801. (2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4. 故化学反应进行到10 min时未转化物质的质量为5.4 mg. [呈重点、现规律]

1.建立回归模型的基本步骤：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.(2)画出散点图，观察它们之间的关系.(3)由经验确定回归方程的类型.(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数. 2.独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法.而利用假设的思想方法，计算出某一个随机变量χ2的值来判断更精确些.