复习参考题特级教师教学实录

统计案例复习设计

一、复习导言

本章主要内容独立性检验的思想与回归分析的应用，主要通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想与方法。统计案例是实用性很强的知识，以统计案例为背景命题应用性试题，考查基础知识和基本方法的同时，考查运用所学知识解决实际问题的能力，还体现以知识为依托，突出对思想方法的考查。所以高考要注意统计实际应用问题的考查。

二、考纲要求

了解一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题

1、通过典型案例了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用

2、通过典型案例了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用

三、要点精析

(一)两个变量的线性相关

1．正相关

在散点图中，点散布在从 到 的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

2．负相关

点散布在从 到 的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．

（二）回归分析

1、回归分析是处理变量之间______的一种统计方法，若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为线性回归分析

（一）回归分析

1、回归分析是处理变量之间______的一种统计方法，若两个变量之间具有线性相关

关系，则称相应的回归分析为线性回归分析。

^2、线性回归方程________，其中b(xx)(yii1nii1niy)2xyii1nninxynx2，aybx^^(xx)xi12i称为回归系数，_____称为样本的中心点，回归直线经过样本点的中心。

（二）相关关系与相关检验

1、相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，如人的身高与年龄，商品的销售额

与广告费等关系都是相关关系，它是一种_____，而不是函数关系。

2、样本相关系数：用来对变量x与Y作相关性检验的统计量，用r来表示。

3、r的性质:具有相关关系的两个变量之间关系的强弱是通过相关系数来衡量的，当r>0时，表明两个变量______；当r<0时，表明两个变量____。|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r|越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；通常当|r|大于_____时，我们认为两个变量之间存在着

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很强的线性相关关系；当|r|小于0.75时寻求直线没有意义。

（三）2×2列联表

1、含义：用于检验2×2列联表中的两个事件A与B是否独立的一种统计学中常用的检验方法，称为____。

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本的频数列联表（2×2列联表）为：

y1

x1

x2

总计

a c a+c 总计

a+b c+d a+b+c+d y2

b d b+d 若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1产量的可能性：

（1）用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度，具体步骤为：

①假设两个分类变量X与Y无关；

②统计学中一个非常有用的统计量，读作：卡方，计算出随机变量K2的观测值K=______；

nadbcKabcdacbd2

③把k的值与临界值比较确定X与Y有关系的程度。

2

（2）步骤：统计假设：假设事件A与B独立，即事件A与B无关；计算K2的值；统计决断：若K2>3.841，则有___的把握说事件A与B有关；若K2>6.635，则有____的把握说事件A与B有关；若K23.841，认为事件A与B无关。

四、题型解析

高考小题演练

1.对变量x,y有观测数据（xi,yi）(i=1,2,…,10)，得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui,vi）(i=1,2，…,10)，得散点图（2），由这两个散点图可以判断（ ）

2

A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关

2.已知x、y之间的数据如下表所示，则与之间的线性回归方程过点（ ）

0,0 B．x,0 C．

0,y D．x,y

A．

例题分析

例1：某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2002 2004 2006 2008 2010

需求量(万吨) 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程Y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

解析

(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

年份－2006 －4 －2 0 2 4

需求量－257 －21 －11 0 19 29

:对预处理后的数据，容易算得

－(x)＝0，－(y)＝3.2. b＝(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02((－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2)＝40(260)＝6.5，

a＝－(y)－b －(x)＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为

∧(y)－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，

即∧(y)＝6.5(x－2 006)＋260.2.①

(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

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点评：在实际问题中，有时需要我们判断两个变量之间是不是线性相关关系，这就需要我们根据已有的知识或散点图选择适当的曲线方程，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性回归问题，从而确定未知参数，建立相应的回归方程。当然这道题我们可以直接解决。

例2 在国家实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1000人作问卷调查，只有80人志愿加入西部建设，而国家公布实施西部开发战略后，随机抽取1200名应届大学毕业生作问卷调查，有400人志愿加入国家西部建设。问实施西部开发战略的公布是否对应届大学毕业生的选择产生影响？

分析：本题是一道信息题，独立性检验在应用于很大领域时需要通过建立模型实现信息迁移，即将信息转化为2×2列联表形式，再通过计算K2统计量得出相应的结论。

解：根据题意，列出2×2列联表，如下：

自愿者

非志愿者

西部开发战略公 80 920 布前

西部开发战略公 400 800 布后

总计

480 1720 由公式计算K2统计量得：

2200(80800920400)2K205.22，因为205.22>6.635，所以有99%4801720100012002 总计

1000 1200 2200 的把握认为实数西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择产生了影响。

点评：即使不进行独立性检验，我们也能正确判断出“开发战略“起了作用，但利用K2统计量所得结果更具有说服力，还可以说明西部开发战略具有很大的带动作用。

【变式训练】

1．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：

学生

学科

数学

物理

80 70 75 66 70 68 65 64 60 62

A

B

C

D

E

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画出散点图，判断它们是否有相关关系，若相关，求出回归直线方程．

2. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

喜欢数学课程

不喜欢数学课程

总

计

男

女

总

计

37 35 72 85 143 228 122 178 300

在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课之间有关系？为什么？

五.小结

^1.

线性回归方程Y＝bx＋a其中b(xx)(yii1nii1niy)2xyii1nninxynx2，aybx

^^(xx)2xi12i2.

独立性检验nadbcKabcdacbd2

六、备考策略

1.统计的基本思维模式是归纳的，它的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质，因此，统计推断是可能犯错误的，也就是说，我们从数据上体现的只是统计上的关系，而不是因果关系。

独立性检验的基本思想类似于反证法，为了探求事件A与B是否有关，首先列出事件A与B的2×2列联表，利用公式计算出统计量K2，将K2的数值与两个临界值3.841与6.635进行对比，然后作出统计推断。利用2×2列联表，不仅能考查两个变量之间是否有关，而且还能较精确地给出这种判断的可靠性程度。因此，独立性检验在生物统计、医学统计、处理社会问题调查数据等方面有着广泛的应用。

2、两个变量之间除了确定性的函数关系外，还大量存在着因变量的取值带

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有一定随机性的相关关系，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。散点图形象地反映了各对数据的密切程度。在求两个变量x与Y之间的回归方程之前先进行相关性检验，当两变量存在线性相关关系时，求出回归直线方程，便可对变量进行预测，由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行延伸，所以它在情况预报、资料补充方面有着广泛的应用。

3.由于本章在高考中考查难度不大，所以复习时重点体会统计的思想，独立性检验思想以及在实际问题中的应用。

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