2.2.2 反证法教学设计内容推荐

课题

2.2.2间接证明--反证法

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

教学

目标

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

课型

新授课

重点

难点

教学重点：了解反证法的思考过程、特点。

教学难点：反证法的思考过程、特点。

教具

多媒体

准备

教学过程与教学内容

课时

1 安排

教学方法、教学手段与学法、学情

教学过程：

(1)、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假利用反证法证明不等设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的式的第三步所称的矛假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论盾结果，通常是指所的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个推出的结果与已知公命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

理、定义、定理或已

知条件、已证不等式，反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表以及与临时假定矛盾述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂等各种情况。

直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大 (小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

(2)、例子

例1、求证：2不是有理数

nn例2、已知ab0，求证：ab（nN且n1）

例3、设ab2，求证ab2.

证明：假设ab2，则有a2b，从而

33a3812b6b2b3,a3b36b212b86(b1)22.

26(b1)22，所以a3b32，这与题设条件 因为a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。

2f(x)xpxq，求证：例4、设二次函数1f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于2. 1f(1),f(2),f(3)证明：假设都小于2，则

f(1)2f(2)f(3)2. （1）

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3) (1pq)2(42pq)(93pq)2 （2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不1可能同时大于4。

111

证：设(1 a)b >4, (1 b)c >4, (1 c)a >4, 则三式相乘：ab < (1

a)b•(1

b)c•(1

c)a 1<64 ①

又∵0 < a, b, c < 1

1(1a)a0(1a)a24

∴(1b)b同理：211(1c)c4, 4

以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b1•(1 c)c≤64 与①矛盾

∴原式成立

例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，

求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0

巩固练习：第91页练习1,2

课后作业：第91页 4

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