探究与发现 组合数的两个性质ppt配用优秀教学设计

组合数的两个性质教学设计

授课日期

授课班级

课题

组合数的两个性质

知识目标：让学生自主发现组合数的两个性质并能够运用性质解决相关问题。

能力目标：

培养学生发现知识、应用知识的能力，培养独立分析问题、解决问题教学目的

的能力，养成良好的思维与学习习惯。

情感目标：从具体实例入手，帮助学生领悟数学是来源于实践并服务于实践的理论，激发学生的学习兴趣和学习信心，从而更加热爱数学。

重点与难点

重点：组合数的两个性质的发现、证明及应用

难点:组合数的两个性质的理解及其灵活应用。

教具

板书

时

间分

配

课的类型

新授

教学方法

讲授法

教学内容：

一、组织教学: 二、课程引入：

1.组合的定义：

组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．

组合数定义：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素。因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一

个组合一一对应, 所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数

3、组合数公式

C

mnPPmnmmn(n1)(n2)(nm1)

m

!Cmnn

!

m

!(nm)

!三、课程内容：

写出从

a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有组合。

abc ， abd ， acd ， bcd

从4个不同元素中每次取出3个的一个组合，和剩下的（4-3）个元素的组合是一一对应的C44

3C343总结：C4

C4144

推广:

从

n个不同元素中取出

m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从

n个不同元素中取出

m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元素的组合数，mnm即cncn

mnm组合数的两个性质：1、CnCn

m

证明：Cnn！

m（

!nm）

!

Cnmnn！n！

(nm)

![n（nm）]

!m

!(nm)

! CnCnmnm

nm性质1的应用:当m>时，利用这个公式，可使cn的计算2简化

7972

如：c9c9c9

c981009836

12100992c1004950

12n00

当m=n时，有cncn1所以规定：cn1

从a1,a2,a3,L,an1

n1个不同元素中，每次取出m个元素。

1、

可以有多少个不同的组合？

2、

在这些组合里有多少个是含有a1的？

3、

在这些组合里有多少个是不含有a1的？

4、

从上面的结果可以得到一个怎样的公式？

性质2:

定理2：cn1cncn

Cn1CnCnmmmm1mmm1

m1

证明：CnCn



n!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!mm!(nm1)!

(nm1m)n!m!(n1m)!

(n1)!m

Cn1

m![(n1)m]!cn1cncn

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比 标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．

例１、计算：

(

1

)

mmm1C198

2003(C22200

20019921319900)

161700(

2

)

(

3

)

C99

C99C100

3392881009998321

2C

CC

33223

2C8(C8C8)C8C856

例2

求证: (

1

) Cn1CnCn1Cn1

(

2

) mm1mm1

Cm1nCn2CnCn2

m1mm13456

练习: 1、计算：C7

C7C8C9n1n2nn

2、求证：Cm2- Cm+ 2Cm+ Cm

x12x3

3、解方程：C13

C132x3

4、解方程：Cxx2Cx213Ax3

10135

5、计算：C50C5

C52C5C54C5

012n1n

推广：CnCnCnCnCn2n

选择题：已知：

xyx、yN*,且CnCn

，则x,y的关系是

（

C

）

A、x=y

B、y=n－x

C、x=y或x+y=n

D、

x≥y

例3、一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。

（1）

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

（1）解：从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是

C38876563!

（2）

解：从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是

C

2776212!

（3）解：由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是

C37765353!

由例题可以发现

CCC如何解释这个等式？

383727

即从口袋里8个球中所取出的三个球可以分为两类：一类是含有1个黑球，一类是不含黑球，所以根据分类加法计数原理，上面等式成立。

拓展提高110210310

10101.求C2C3C...10C的值

四、课程小结：1、数的两个性质

性质1、C性质2、C

2、公式

五、布置作业： P104,练习1、练习2

mnCnmn

mnmn1CCm1n