复习参考题教学实录及点评

重点强化训练(三)

不等式及其应用

A组

基础达标

(建议用时：30分钟) 一、选择题

1．下列不等式一定成立的是(

) 1A．lgx2＋4>lg x(x>0) B．sin x＋1≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1>1(x∈R) x＋12113C

[取x＝2，则lgx2＋4＝lg x，故排除A；取x＝2π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则1＝1，排除D.] x＋12x－y＋2≥0，2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，3x＋2y－9≤0，数z＝2x＋5y的最小值为(

) A．－4

C．10

B．6

D．17

则目标函21B

[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－5x＋5z，在图2中画出直线y＝－5x，

平移该直线，易知经过点A时z最小．

又知点A的坐标为(3,0)，

1

∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.] 3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点Px－2≤0，在直线l上的投影．由区域x＋y≥0，x－3y＋4≥0构成的线段记为AB，则|AB|＝(

) A．22 C．32

中的点在直线x＋y－2＝0上的投影B．4 D．6 C

[由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．

因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝2＋12＋－2－12＝32.故选C.] 4．不等式4≤x－2的解集是(

) x－2B．[0,2)∪[4，＋∞) D．(－∞，2]∪(4，＋∞) A．[－∞，0)∪(2,4]

C．[2,4) B

[①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；

②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，

解得0≤x<2. 综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]

2x＋15．(2015·山东高考)若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取2－a值范围为(

) A．(－∞，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1，＋∞)

2

2－x＋12x＋1C

[因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－x＝－x.化2－a2－a2x＋12x＋12x＋1－32x－1简可得a＝1，则x＞3，即x－3＞0，即>0，故不等式可2－12－12x－12x－2化为x＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.] 2－1二、填空题

2x－y＋1≥0，6．(2016·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件x－2y－1≤0，x≤1，的最小值为________．

－10

[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影25z部分所示．由题意可知，当直线y＝－3x＋3＋3过点A(－1，－1)时，z取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]

则z＝2x＋3y－57．设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为__________.

【导学号：31222217】

32

[令t＝a＋1＋b＋3，则t2＝a＋1＋b＋3＋2a＋1b＋3＝9＋2a＋1b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，

73当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝2，b＝2. ∴tmax＝18＝32.] 8．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为__________．

【导学号：31222218】

π5π0，6∪6，π

[由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2

α－32cos 2α≤0，

1化简得cos 2α≥2. π5π又0≤α≤π，∴0≤2α≤3或3≤2α≤2π，

3

π5π解得0≤α≤6或6≤α≤π.] 三、解答题

ax－19．已知不等式>0(a∈R)．

x＋1(1)解这个关于x的不等式；

(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．

[解]

(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.1分

①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；

1②当a>0时，不等式化为x－a(x＋1)>0. 1解得x<－1或x>；3分

a1③当a<0时，不等式化为x－a(x＋1)<0；

11若a<－1，即－1

1若a＝－1，即a＝－1，则不等式解集为空集；

11若a>－1，即a<－1，则

－1

综上所述，当a<－11| 时，解集为x－1

当a＝－1时，原不等式无解；

1当－1

当a＝0时，解集为{x|x<－1}；

当a>01时，解集为xx<－1或x>a

.6分

(2)∵x＝－a时不等式成立，

－a2－1∴>0，即－a＋1<0，10分

－a＋1∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).12分

10．(2016·全国卷Ⅰ改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两

4

种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元．

[解]

设生产产品A x件，产品B y件，则

x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.**1.5x＋0.5y≤150，

5分

目标函数z＝2 100x＋900y. 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).12分

B组

能力提升

(建议用时：15分钟) abx＋y>m对任意正实数1．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)·x，y恒成立，则实数m的取值范围是(

) 【导学号：31222219】

A．[4，＋∞)

C．(－∞，4] B．(－∞，1]

D．(－∞，4) aybxabD

[因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)x＋y＝a＋b＋x＋y≥a＋b＋aybx2≥2ab＋2＝4，当且仅当a＝b，x＝y，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．] 12．若不等式x＋ax＋1≥0对一切x∈0，2恒成立，则a的最小值是2__________. 【导学号：31222220】

5

5－2

[法一：由于x>0，

11则由已知可得a≥－x－x在x∈0，2上恒成立，

115而当x∈0，2时，－x－xmax＝－2，

55∴a≥－2，故a的最小值为－2. a法二：设f(x)＝x＋ax＋1，则其对称轴为x＝－2. 21a11①若－2≥2，即a≤－1时，f(x)在0，2上单调递减，此时应有f2≥0，从5而－2≤a≤－1. 1a②若－2<0，即a>0时，f(x)在0，2上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0. a1③若0≤－2<2，即－1

22a2aaa则应有f－2＝－＋1＝1－≥0恒成立，

44255故－10. m＋n(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；

11(2)解不等式fx＋2

(3)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．

[解]

(1)证明：任取x1

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

6

＝fx1＋f－x2·(x1－x2).2分

x1－x2∵－1≤x10，

x1－x2∴f(x1)－f(x2)<0，

即f(x)在[－1,1]上为增函数，4分

(2)∵f(x)在[－1,1]上为增函数，

1－1≤≤1，∴x－111x＋2

1－1≤x＋2≤1，

3| 解得x－2≤x<－1.8分

(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有∴要f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，

故t2－2at≥0，记g(a)＝－2ta＋t2.10分

对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，

∴g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2. ∴t的取值范围是{t|t≤－2或t＝0或t≥2}.12分

7