小结课件配套优秀公开课教案设计

不等式复习教学设计

一、教学分析

本章复习建议

本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．

1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．

2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，＞bc(忘了c＞0)，

a>bc>dac＞bd(忘了a、b、c、d∈R＋)等等．

3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．

4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多

内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．

5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．

6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．

本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．

三维目标

1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见a＋b问题；理解并掌握均值不等式≥ab(a＞0，b＞0)的应用方法与技巧．

22．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合

等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．

3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．

重点难点

教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．

2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．

3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．

教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．

思路2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．

推进新课

新知探究

提出问题

本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？

a＋b均值不等式≥ab的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？2三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式a＋b≥ab(a＞0，b＞0)．

2由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体a＋b课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式≥ab(a＞20，b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解. Δ＝b－4ac 二次函数

y＝ax＋bx＋c (a＞0)的图象

ax＋bx＋c＝0的根

ax＋bx＋c＞0的解

集

ax＋bx＋c＜0的解

集

由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．

22222Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

－b±Δx1,2＝

2a

bx1＝x2＝－

2a

应用示例

例1已知集合A＝{x|x＋2x－8＜0}，B＝{x|| 2x＋2|＞3}，C＝{x|x－2mx＋m－122

＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩BC，分别求出m的取值范围．

活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．

解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，

欲使A∩C＝Ø，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5. m－1≤1，(2)欲使A∩BC，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，只需m＋1≥2，

m≤2，即m≥1，

即1≤m≤2.

点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．

变式训练

设集合A＝{x|(x－1)＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有__________个元素．

答案：6 解析：由(x－1)＜3x＋7可得－1＜x＜6，结合题意可得A＝(－1,6)．

例2若正数x、y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．

活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．

6x＋5y解：∵x、y为正数，则6x、5y也是正数，∴≥6x·5y＝30xy，

23654当且仅当6x＝5y时，取“＝”．∵6x＋5y＝36，则30xy≤，即xy≤.∴xy的最2554大值为. 5点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝36－6x.代入52216236xy，得xy＝x·(36－6x)＝－x＋x(x＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，555教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．

变式训练

23

已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．

xy

23解法一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2xy23·. xy23∴xy≥6，当且仅当＝＝1，即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6. xy23π2322

解法二：令＝2cosθ，＝2sinθ，θ∈(0，)，∴x＝，y＝. 22xy22cosθ2sinθ66∴x·y＝＝. 2224sinθcosθsin2θπ2∵sin2θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3.∴xy的最小值是6. 4233x

解法三：由＋＝2，得y＝.∴xy＝xy2x－2令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.∴2)＝6. 当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.∴xy有最小值6. 答案：6

ax例3不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. x－1活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．

ax解法一：将＜1化为x－1－＋1＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0. x－13x－23x－＋2t2(x＞1)．

2＝313＝(t＋＋2)≥(22t21t·＋t由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，∴[(1－a)x－1](x－1)＞0. 111∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2.解得a＝. 1－a1－a2解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x＋(2－a)x－1＜0. 依题意，方程(1－a)x＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，

11－a＝2，∴a－2a－1＝3，22

1解得a＝. 2点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．

变式训练

x－a

若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝__________. x＋1答案：4

例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？

活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．

200解：设净水池长为x m，则宽为 m，高为h m，则总造价

x200200225f(x)＝400(2x＋2·)·h＋100··h＋60×200＝800h(x＋)＋12 000(x＞0)，

xxx225当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 mx时总造价最低．

点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．

知能训练

1．已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x＋x－6≤0}，则A∩B等于(

) A．[－3，－2)∪(1,2]

B．(－3，－2]∪(1，＋∞)

C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]

2．已知a∈R，二次函数f(x)＝ax－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若，求a的取值范围．

223223．已知关于x的不等式x＞ax＋的解集是{x|2＜x＜m}，求不等式ax－(5a＋1)x2＋ma＞0的解集．

4．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.

5．已知a、b、c、d∈R，求证：ac＋bd≤答案：

2＋b22＋d2. 1．A 解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．

2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，

1解得其两根为x1＝－a112＋2，x2＝＋aa12＋2.由此可知x1＜0，x2＞0. a(1)当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．

1的充要条件是x2＜3，即＋a(2)当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}．

1的充要条件是x2＞1，即＋a综上，使323．解：x＞ax＋212＋2＞1，解得a＜－2. a162＋2＜3，解得a＞. a76成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪(，＋∞)．

723－x＋＜0,2＜x＜m2－2)(x－m)＜322－(2＋m)x＋2ma112＜0.对照不等号方向及x的系数可知a＞0且＝＝，解得a＝，m＝36. 12＋m2m8∴ax－(5a＋1)x＋ma＞－9)＞＜4或x＞9. 21211x－(5×＋1)x＋36×＞8882－13x＋36＞－4)(x点评：条件中的不等式含参数a，而其解集中又含有参数m，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x＜m}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜m}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．

4．解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．

22(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，这时两根的大小顺序为2＞，所以解aa2集为{x|＜x＜2}．

a2(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为a222＜，所以原不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；

aa2②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；

a

22③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为{x|x＞2或x＜}．

aa2综上所述，不等式的解集为a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，a＜0时，{x|＜ax＜2}，

220＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}，a＞1时，{x|x＞2或x＜}．

aa点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．

5．证明：∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bc＋ad＋bd

＝(ac＋2abcd＋bd)＋(bc－2abcd＋ad)＝(ac＋bd)＋(bc－ad)≥(ac＋bd)，

∴222222222222222222222222＋b22＋d2≥|ac＋bd|≥ac＋bd. a＋b或其变形形式上来？关键是探究根号里面的2点评：能否联想到均值不等式ab≤(a＋b)(c＋d)的变形问题．

2222

课堂小节

1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？

2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．

作业

本章巩固与提高A组3、4、7、8、9；B组6、7、8、9. 设计感想

1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．

2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．

3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是

什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．