一 比较法公开课教案

课

题：不等式的证明（1）

教学目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．重要不等式：

如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

2．定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取""号).

2ab2a2b23.公式的等价变形：ab≤，ab≤（）. 224．

ba≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

ab二、讲解新课：

1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

三、讲解范例：

例1

求证：x2 + 3 > 3x

分析：由比较法证题的方法，先将不等式两遍作差，得(x2 + 3)  3x＝x3x3，将此式看作关于x的二次函数，易知有最小值，由配方法易证。

证明：∵(x2 + 3)  3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

例2

已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：2232232232230

4ama

bmb分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符号，从而求证。

证明：amab(am)a(bm)m(ba)

bmbb(bm)b(bm)∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,

b



a > 0 ∴amam(ba)

0

即

bmbb(bm)例3 已知a, b都是正数，并且a



b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

分析：依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解方法来变形。

证明：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5



a3b2) + (b5



a2b3 )

= a3 (a2



b2 ) 

b3 (a2



b2) = (a2



b2 ) (a3



b3) = (a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a



b，∴(a



b)2 > 0

∴(a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) > 0 即

a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例4

甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m



n，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？

分析：设从出发点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2。要回答题目中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了。

解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲、乙两人走完全程所需时间分别是t1、t2，依题意有：

可得

t1t1tm1nS,22SSt2

2m2n2SS(mn),t2

mn2mn2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2∴t1t2

mn2mn2(mn)mn2mn(mn)∵S, m, n都是正数，且m



n，∴t1－t2< 0

即：t1< t2

答：甲先到到达指定地点。

说明：此题体现了比较法证明不等式在实际中的应用，要求学生注意实际

问题向数学问题的转化. 例5设a, b

 R，求证：ab(ab)证明：（作商）+abab2abba

ab2aabb(ab)ab2aab2bba2a()b

a当a = b时，()bab21

aba0,()2bab2a当a > b > 0时，1,b1

ab2a当b > a > 0时，

01,b∴ab(ab)abab2aba0,()2b1

（其余部分略）

四、课堂练习：

五、小结

：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，总结了比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号。

六、课后作业：书P8习题6.1 1、3