1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案公开课一等奖

普通高中课程标准实验教科书数学（人教A版）选修

1-2

3.2

独立性检验的基本思想及其初步应用（2课时）

设计教师：艾宗仕

一、教学目标及其解析

（一）

教学目标：

1.了解分类变量、2×2列联表、随机变量K2的意义．

2．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想方法．

3．通过典型案例的分析，了解两个分类变量的独立性检验的应用．

（二）解析：

本节课是人教A版（选修）2—3第三章第二单元第二课时的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

独立性检验是考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法．利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．因此，在学习中通过对统计案例的分析，理解和掌握独立性检验的方法，体会独立性检验的基本思想在解决实际问题的应用，以提高我们处理生活和工作中的某些问题的能力．

二、教学重难点解析

（一）重点、难点：

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。

教学难点；1、理解独立性检验的基本思想；

2、了解随机变量K2的含义；

3、独立性检验的步骤。

（二）解析：

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

三、教学过程设计 问题1：为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如第

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下结果（单位：人）表3-7 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

42 49 91 7817 2148 9965 不吸烟

7775 吸烟

总计

2099 9874 那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？

像表3一7 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．

与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况．图3. 2 一1 是列联表的三维柱形图，从中能清晰地看出各个频数的相对大小．

图3.2一2 是叠在一起的二维条形图，其中浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数．从图中可以看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例．

为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．

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通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

为了回答上述问题，我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系．用A表示不吸烟， B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立”，即假设 H0等价于

PAB）=P(A）+P(B) . 把表3一7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

表3-8 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌

患肺癌

总计

b d b+d a+b c+d a+b+c+d 不吸烟

a 吸烟

总计

c a+c

在表3一8中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b 和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数．由于频率近似于概率，所以在H0成立的条件下应该有

aabac, nnn其中nabcd为样本容量， (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) , 即ad≈bc. 因此，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强． 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

nadbc2K

(1)

abcdacbd其中nabcd为样本容量．

若 H0

成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为

29965777549422099K256.632, 78172148987491这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在 H0成立的情况下，

2P(K26.635)0.01.

(2)

2 (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 201，是一个小概率事件．现在K的观测值k≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断第

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定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” . 在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k≥6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．

在该规则下，把结论“H0

成立”错判成“H0

不成立”的概率不会超过

2P(K26.635)0.01,

即有99％的把握认为从不成立．

上面解决问题的想法类似于反证法．要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0:“两个分类变量没有关系”

成立．在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小．如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对H0

的充分证据．

怎样判断K的观测值

k 是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为

222K2的观测值k大．此时相应于k0的判断规则为：

如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.

我们称这样的k0为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P(K2k0).

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为不能以(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据．上面这种利用随机变量K来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．

利用上面结论，你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗？

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和｛y1,y2｝, 其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

表3一

9

2×2列联表

2y1

y2

b

总计

x1

a

ab

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c

d

总计

ac

bd

x2

cd

abcd

若要推断的论述为

Hl:X与Y有关系，

可以按如下步骤判断结论Hl 成立的可能性：

1．通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．

①

在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad 与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大．

②

在二维条形图中，可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例ca，也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y2，的个体所占的比例.“两个cdab比例的值相差越大，Hl

成立的可能性就越大．

2．可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：

①

根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

②

利用公式（

1 ) ，由观测数据计算得到随机变量K的观测值k;

③

如果kk0，就以(1P(K2k0))100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据．

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：

表3一10 2P(K2k0)

k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 小结：

1．分类变量及其关系的分析

(1)分类变量的概念：

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)分析方法：

①列出两个分类变量的频数表，称为列联表，利用频数分析分类变量的关系．

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1

y2

总计

x1

a b a＋b

x2

c d c＋d

总计

a＋c b＋d a＋b＋c＋d

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②等高条形图展示列联表数据的频率特征．

2．K2统计量

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝nad－bc2，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d3．独立性检验的定义及判断方法

(1)独立性检验的定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)独立性检验的方法有列联表法、等高条形图法及K2公式法．

典型例题分析

例1、在某医院，因为患心脏病而住院的

665 名男性病人中，有

214 人秃顶，而另外

772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有

175 人秃顶．

(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．

(2)能够以

99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

(1)可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”. (2)根据列联表3一11中的数据，得到

1437(214597175451)2k≈16.373>6 .

3891048665772因此有

99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 例2、为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别

阳性数

阴性数

总计

29

7

36 铅中毒病人

9

28

37 对照组

38

35

73 总计

[解]

等高条形图如图所示：

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．

由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系．

方法归纳

在判断两个变量是否有关系时，通过作出等高条形图，能直观地反映数据的情况，从中清晰地看出各个频数的相对大小，粗略判断两个分类变量是否有关系．要注意的是这种判断不能精确地给出其犯错误的概率．

变式训练：

1．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示．画出等高条形图，判断在恶劣气候飞行中男性比女性是否更容易晕机？

晕机

不晕机

总计

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23

32

男性

9

25

女性

32

57

总计

解：由数据的列联表可以得到等高条形图为：

55 34 89

从上图中可以发现男性中晕机的人的频率与女性中晕机的人的频率相差较大，故我们认为性别和是否晕机是有关系的，且在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机．

例3、某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？

体育

文娱

合计

21

23

44 男生

6

29

35 女生

27

52

79 合计

[解]

依题意，其等高条形图如图所示：

由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱与性别在某种程度上有关系，但只能作粗略判断，具体判断方法如下：假设“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，

∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79. nad－bc22∴K＝

a＋bc＋da＋cb＋d79×21×29－23×62＝≈8.106，

21＋23×6＋29×21＋6×23＋29且P(K2≥7.879)≈0.005，即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879这就意味着“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．

方法归纳

nad－bc22(1)解答此类问题应先利用K＝求出K2的观测值k的值，再利a＋bc＋da＋cb＋d用临界值的大小来判断假设是否成立．

(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．

变式训练：

2．研究人员选取170名青年男女大学生作为样本，对他们进行一种心理测验，发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，作否定的有38名；男生110名在相同的题目上作肯定的有22名，作否定的有88名，问：性别与态度之间是否存在某种关系？试用独立性检验的方法判断．

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解：根据题意，得如下2×2列联表：

肯定

否定

合计

22

88

110 男生

22

38

60 女生

44

126

170 合计

2根据列联表中的数据，利用公式计算得到K的观测值为

170×22×38－22×882k＝≈5.622＞5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的110×60×44×126前提下认为“性别与态度有关”．

例4、对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

又发作过心脏病

未发作过心脏病

合计

39

157

196 心脏搭桥手术

29

167

196 血管清障手术

68

324

392 合计

试根据上述数据，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别．

nad－bc22[解]

由公式K＝得

a＋bc＋da＋cb＋d392×39×167－157×2922K＝

39＋157×29＋167×39＋29×157＋167≈1.780. 因为K2＝1.780＜2.706，所以我们没有充分证据显示“心脏搭桥手术”、“血管清障手术”与“又发作过心脏病”

有关系，所以没有充分证据表明这两种手术对病人发作心脏病影响有差别．

[错因与防范]

在利用2×2列联表进行独立性检验时，如果K2≤2.706，并不是表示两个分类变量没有关系，只是没有充分证据表明它们有关系而已，所以在解题中不要滥用．

变式训练：

3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中：

①若统计量K2＞6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；

②若从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病；

③若从统计中求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断错误．

正确的个数为(

) A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选B.统计量K2仅仅说明一个统计推断，并不能说明个案或某些情况．从而③正确，故选B.

四.课堂检测

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(

) (2)独立性检验的方法就是反证法．(

) (3)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中K2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．(

) (4)通过2×2列联表，若求出样本数据恰好满足ad＝bc，则说明两分类变量相关性很强．(

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答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．班级与成绩2×2列联表如下：

优秀

不优秀

总计

10

35

45 甲班

7

38

p

乙班

m n q

总计

表中数据m，n，p，q的值应分别为(

) A．70,73,45,188

B．17,73,45,90 C．73,17,45,90

D．17,73,45,45 解析：选B.m＝7＋10＝17，n＝35＋38＝73，p＝7＋38＝45，q＝m＋n＝90. 3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业

非统计专业

统计专业

性别

13

10 男

7

20 女

为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到k＝5013×20－10×72≈4.84. 23×27×20×30因为K2≥3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系．

这种判断出错的可能性为________．

解析：P(K2≥3.841)＝0.05，说明有95%的把握认为统计专业与性别有关系，即这种判断出错的可能性为0.05. 答案：0.05 4．如何分析两个分类变量的相关关系？

解：(1)通过图形直观判断两个分类变量是否相关，如等高条形图．

(2)独立性检验

通过2×2列联表，计算K2的观测值，定量判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度．

五.课堂小结

1．分类变量及其关系的分析

(1)分类变量的概念：

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)分析方法：

①列出两个分类变量的频数表，称为列联表，利用频数分析分类变量的关系．

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1

y2

总计

x1

a b a＋b

x2

c d c＋d

总计

a＋c b＋d a＋b＋c＋d

②等高条形图展示列联表数据的频率特征．

2．K2统计量

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝nad－bc2，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d3．独立性检验的定义及判断方法

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(1)独立性检验的定义

利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)独立性检验的方法有列联表法、等高条形图法及K2公式法．

六、课后作业

1.下一课时前置作业

2.优化方案、课时作业：

1．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(

) A．独立性检验依赖于小概率原理

B．独立性检验得到的结论一定准确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法

解析：选B.根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．

2．对两个分类变量A，B的下列说法中，正确的个数为(

) ①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．

A．0

B．1 C．2

D．3 解析：选B.①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助二维条形图等，也可判定A与B是否相关．故选B. 3．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(

)

解析：选D.在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D. 4．(2014·温州高二检测)对于独立性检验，下列说法正确的是(

) 2A．K>3.841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2>6.635时，有95%的把握说事件A与B无关

解析：选B.由独立性检验的知识知：K2>3.841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2>6.635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．

5．(2014·三明高二检测)为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机抽取了50名学生，得到如下列联表：

喜欢数学

不喜欢数学

合计

13

10

23 男

7

20

27 女

20

30

50 合计

50×13×20－10×72根据表中数据，得到k＝≈4.844>3.841，你认为性别与是否喜欢23×27×20×30数学课程之间有关系，这种判断犯错误的概率不超过(

) A．0

B．0.05 C．0.01

D．1 解析：选B.∵4.844>3.841，根据临界值表可知，认为性别与是否喜欢数学关系，这种判断犯错误的概率不超过0.05. 6．下面是一个2×2列联表：

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x1

x2

总计

y1

a 2

b y2

21

25

46

总计

73 27 100 则表中a，b的值分别为____________．

解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54. 答案：52,54 7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如下表所示：

死亡

存活

合计

14

11

25 第一种剂量

6

19

25 第二种剂量

20

30

50 合计

进行统计分析时的统计假设是____________．

解析：根据独立性检验的基本思想，可知类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题，进行统计分析的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．

答案：小白鼠的死亡与剂量无关

8．(2014·嘉兴高二检测)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科

文科

合计

13

10

23 男

7

20

27 女

20

30

50 合计

22已知P(K≥3.841)≈0.05，P(K≥5.024)≈0.025. 50×13×20－10×722根据表中数据，得到K的观测值k＝≈4.844，则认为选修文科与23×27×20×30性别有关系出错的可能性约为________．

解析：∵K2＝4.844>3.841，

∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5% 9．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据．试问：每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.

患心脏病

未患心脏病

合计

30

224

254 每晚都打鼾

24

1 355

1 379 不打鼾

54

1 579

1 633 合计

解：由列联表中的信息知打鼾人群中未患心脏病的比例为0.88，即患有心脏病的比例为0.12；同理不打鼾人群中未患心脏病的比例为0.98，即患有心脏病的比例为0.02.作出等高条形图(如下图)．

从该图中可以看出：打鼾样本中患心脏病的比例明显多于不打鼾样本中患心脏病的比例．因此可以认为“打鼾与患心脏病有关”．

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10．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．

(1)根据以上数据列出2×2列联表；

(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？

解：(1)由已知可列2×2列联表：

患胃病

未患胃病

总计

20

200

220 生活规律

60

260

320 生活不规律

80

460

540 总计

540×20×260－200×6022(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K的观测值k＝220×320×80×460≈9.638. ∵9.638>6.635，

因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．

[高考水平训练] 1．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据是(

) A．k>3.841

B．k<3.841 C．k>6.635

D．k<6.635 解析：选A.将k的值与临界值进行比较．

2．(2014·临沂质检)若两个分类变量X与Y的列联表为：

y1

y2

x1

10

15 x2

40

16

则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为____________．

解析：由题意可得K2的观测值

10＋15＋40＋16×10×16－40×152k＝≈7.227，

10＋15×40＋16×10＋40×15＋16∵P(K2≥6.635)≈1%，∴“x与y之间有关系”出错的可能性为1%. 答案：1% 3．(2014·高考辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

喜欢甜品

不喜欢甜品

合计

60

20

80 南方学生

10

10

20 北方学生

70

30

100 合计

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 0.100

0.050

0.010 P(K2≥k)

k 2.706

3.841

6.635 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

100×60×10－20×1021002K＝＝≈4.762. 2170×30×80×20因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

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(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2；bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

7事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝. 104．(2013·高考福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

0.100

0.050

0.010

0.001 P(K2≥k)

k 2.706

3.841

6.635

10.828 2nad－bc附：K2＝

a＋bc＋da＋cb＋d解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，7B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝. 10(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

生产能手

非生产能手

合计

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15

45

60 25周岁以上组

15

25

40 25周岁以下组

30

70

100 合计

nad－bc22所以得K＝

a＋bc＋da＋cb＋d100×15×25－15×45225＝＝≈1.79. 1460×40×30×70因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

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