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第三章

不等式章末复习课

题型一

“三个二次”之间的关系

对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．

例1

设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．

解

M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，

则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，

(1)当Δ<0时，－1

(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；

当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．

(3)当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4 －a＋3>0，18－7a>0，即1≤a≤4，a<－1或a>2.f1>0，且f4>0，⇔1≤a≤4，且Δ>0.

18182，. 解得2

若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________. 第1页 共5页

答案

2 解析

因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，

m>1，6且m>1⇒1＋m＝a，1·m＝a题型二

恒成立问题

对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种

(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把知道取值范围的变量看作主元．

(2)分离参数法：

若f(a)g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max. (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．

例2

设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的取值都成立，求x的取值范围．

解

令f(p)＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f(p)>0对|p|≤2的一切实数恒成立．

2f2>0，2x－2x－1<0，所以即2

f－2>0.2x＋2x－3>0

m＝2，⇒

a＝2.

1－31＋322所以7－13＋1

跟踪训练2

f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是________．

答案

(－4,0] 解析

(1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意；

a<0a<0(2)当a≠0时，由题意得：⇔⇔－4

2Δ＝a＋4a<0－4

综上所述：a的取值范围是(－4,0]．

题型三

简单的线性规划问题

关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标x－a函数非线性，如：(斜率)，x－a2＋y－b2(距离)等．

y－b求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：①作出可行域；②作出直线l0：ax＋by＝0；③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，第2页 共5页

求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．

x－4y≤－3，例3

已知变量x，y满足3x＋5y≤25，x≥1，

求z＝2x＋y的最大值和最小值．

解

如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．

设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．

作一族与l0平等的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l移动到l2，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3. 跟踪训练3

某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．

解

设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，

x＋2y≥4，由题意可得x≥0，y≥0，x，y∈N.2x＋y≥5，

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图．

在一族平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线，过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，

即最优解为(2,1)．

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

题型四

利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

50x例4

设f(x)＝2. x＋1(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；

(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；

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1解

(1)当x>0时，有x＋≥2，

x50x50∴f(x)＝2＝≤25. 1x＋1x＋x1当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，

x所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25. 1(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，

x50∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20. 1x＋x所以f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20. 12跟踪训练4

设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．

xy12112＋＝1. 解

∵＋＝3，∴xy3xy112＋

∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×3xyy4x114＋＋≥4＋2 ＝xy338＝. 3y4x当且仅当＝，即y＝2x时，取“＝”．

xy1224又∵＋＝3，∴x＝，y＝. xy338∴2x＋y的最小值为. 3[呈重点、现规律] 1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．

3．二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．

4．求目标函数最优解的两种方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

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y4x·

xy

5．运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

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