小结教学设计(第一课时)

3.4基本不等式abab2

执教人：杨栋

【教材分析：】

“abab”的证明学生比较容易理解，学生难以理解的是“当2且仅当a=b时取‘=’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”。

【教学目标：】

1.

理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；

2.

理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

3.

培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。

【重点、难点：】

1.

重点：两个不等式的证明和区别；

2.

难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。

【教学过程：】

一、设置情境，引入新课：

(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中

1

有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答：a2b2，a2b2

提问2：那4个直角三角形的面积和呢？

生答：2ab

提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们很容易得到一个不等式，a2b22ab。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab

二、新课讲授

（1）（板书）一般地，对于任意实数

a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: a2b22ab(ab)2,当ab时，(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以 a2b22ab

注意强调 当且仅当ab时, a2b22ab

(2)特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成abab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推导

2(板书,请学生上台板演): 要证:

abab(a0,b0) ①

22

即证 ab ②

要证②,只要证 ab 0 ③

要证③,只要证 ( - )2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释

1.对于（）的几何解释：

如图的圆O中：AB为圆的直径，AC=，BC=，

由射影定理：

则弦，而直径弦，所以时，等号成立。

，当点C与圆心O重合时，即（抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性）

2.几何意义：直角三角形斜边上的中线长不小于斜边上的高线。

3.代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1:已知且，求的最小值。

的最小值。

的最大值。

，求函数的最小值。

变式（1）：求函数变式（2）：求函数变式（3）：已知

3

变式（4）：已知_______. ，不等式恒成立，则实数的范围例2已知x、y都是正数，求证：

①

如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p

②

如果和xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2

（由例2总结出“两个正数的积为定值，则它们的和有最小值，和为定值，积有最大值”简称为“和定积大，积定和小”是以后求最值的重要方法）

三、课堂小结：

提问：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？

在学生回答的基础上，再由教师进行补充规范。

（先由学生小结，再在不当之处由教师点评，有利于学生构建自己的知识体系，形成知识的正向迁移）

四、布置作业：

教材习题3.4A组1、2 【板书设计：】

3.4基本不等式abab

三、基本不等式的证明

例1 214一、设置情境，展示图片

四、基本不等式的几何例2 二、重要不等式的推导

意义与代数解释

五、课堂小结

六、布置作业

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