1.3 二项式定理（通用）教学目标设计

§1．3．1二项式定理(一) 桐城九中 汪建民

教学目标：

知识与技能：

掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。

情感、态度与价值观：

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题，发现解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式。

教学难点：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。

授课类型：新授课 内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值。中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础。通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点。这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质，需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

教学过程：

一、

情境引入：

想一想：

小丁问小明：“今天是星期一，过3天后是星期几？”小明回答：“星期四！”小明反问：“那你知道过7天后是星期几吗？”小丁说：“当然是星期一了，因为一星期有7天啊！”这100时小明的哥哥问：“那你们俩知道过8

天后的那天是星期几吗？”小丁和小明都没了主意。

你能帮他们解决这个问题吗？

分析：

100转化成8被7除余数是几的问题。

100如能将（7+1）展开即可解决。

二、

探究新知：

1、提出问题： a2abb

(a+b)2=_______________223223a3ab3abb(a+b)=______________________

3(a+b)4=____________________

… …

(a+b)n=__________________________（nN*)

想一想，展开各项是怎样生成的？

分析问题：

对(a+b)展开式的分析

2(a+b)2=(a+b) (a+b)

展开后其项的形式为：a2、ab、b2

这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。

考虑b：

每个都不取b的情况有C2种，则a前的系数为C2

020恰有一个b的情况有C2种，则ab前的系数为C2

11恰有两个b的情况有C2种，则b前的系数为C2

222(a+b)2= a2+2ab+b2=C20a2+C21ab+C22b2

(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3

(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=?

问题：

1）(a+b)展开后各项形式分别是什么？

a44、a3b、a2b2、ab3、b4

2）各项前的系数代表着什么？

各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数。

3）你能分别说明各项前的系数吗？

a4、a3b、a2b2、ab3、b4

0每个都不取b的情况有C4种，则a前的系数为C4

40恰有1个b的情况有C4种，则a13b前的系数为C41

b2前的系数为C42

恰有2个b的情况有C4种，则a22

恰有3个b的情况有C4种，则ab前的系数为C4

333恰有4个b的情况有C4种，则b前的系数为C4

444则(a+b)4）(a+b)n4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4

=？（nN*)

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn

①(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

nan

， an-1b

，…，an-rbr

，…，bn ②展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a

的系数是Cn；

0n0恰有1个取b的情况有Cn种，a1n-1b

的系数是Cn1，……，

br

的系数是Cnr，……，

n恰有r个取b的情况有Cn种，arnn-r有n个都取b的情况有Cn种，b

的系数是Cn，

n∴(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn

n2、二项式定理：

公式(a+b)=Cn0an+Cn1an-1

b+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn（nN*)所表示得定理叫做：二项式定理。

注：

①

公式右边的多项式叫做(a+b)的二项展开式。

②

各项中系数Cn（r=0,1,2,3, ……,n）叫做二项式系数。

rn③

展开式中共有n+1项。

④

式中的Cnran-rbr叫做二项展开式的通项，它是展开式中的第r+1项，

r记作：Tr+1=Cn3、例题讲解: 例1、试展开下列各式：

an-rbr（r=0,1,2,3, ……,n）

（1）171x4 （2）abn （3）2x1x6

解：略。

例2、求12x展开式中第4项的系数与二项式系数。

3解：展开式中第4项为T4=T3+1=C7x3

17-323x3=2803故第4项的系数为280，二项式系数为C7例3、今天是星期五，问：过810035

天后的那一天是星期几？

解：（师生共同根据前面提示完成）

4、巩固提高练习: 1、Cn0 +3Cn1 +9Cn2 +……+ 3nCnn=？

2、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项的二项式系数。

3、101被11除的余数是几？

8三、

课时小结：

1、

二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；

2、

二项式定理及通项公式的特点。

四、课后作业：

课本 P36 习题1.3 A组 2、3、4