1.3 二项式定理（通用）优秀教案案例

摘要：二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用。

关键词：二项式定理 启发探究式教学 教材分析：

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用．学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法．

教材的安排：教材中是通过取一些特殊值（1，2，3，4）的基础上，观察归纳出二项式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教材采用的是不完全归纳法，没有进行严谨的证明．教材随后安排了四道例题，是对二项式定理的简单应用．

教学设计思想

现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．

二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．

教学方法：我采用启发探究式教学方式：

一是从实际应用问题引入课题。这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题．

二是从特殊到一般。面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生自己探究=1，2，3，4，…时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容．

三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推广到一般．

四是教师的启发与学生的探究恰当结合。本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于平行班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要．

本节课，学生通过对=1，2，3，4，…时二项展开式的观察，归纳、猜想到为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．

本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．

教学目标：

知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美．

教学重点

二项式定理的内容及应用，在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，即项数：项；指数：字母，的指数和为，字母的指数由递减至0，同时，字母的指数由0递增至；二项式系数：下标为，上标由递增至；

容易产生误解的内容是：通项指的是第r+1项；通项的二项式系数是，与该项的系数是不同的概念（在第二课时会进行探讨）。

教学难点：二项式定理的推导过程及内涵

教学过程

一、设置情境，引入课题 问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择．一种是年利率12％，按单利计算，10年后收回本金和利息．另一种年利率10％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息． 试问，哪一种投资更有利？

分析：本金10万元，年利率12％，按单利计算，10年后的本利和是

10×（1＋12％×10）＝22（万元）

本金10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是

那么如何计算的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如的展开式．

二、探索研究二项式定理的内容

问题：的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试．

[学生分组探究] 学生可能的探究方法1：

由 ……

学生可能通过具体的例子来展开说明，

如：

或

学生归纳过程可能如下：

以为例的展开式的分析过程：

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：．

[学生可能归纳出来：（1）每一项中字母，的指数之间的关系（2）项的个数有项] 在上面4个括号中：

每个都不取的情况有1种，即种，所以的系数是；

恰有1个取的情况下有种，所以的系数是；

恰有2个取的情况下有种，所以的系数是；

恰有3个取的情况下有种，所以的系数是；

4个都取的情况下有种，所以的系数是；

因此．

归纳、猜想

教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中，指数的含义如来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各形式项的形成过程，将学生的思维过程展示．

学生可能的探究方法2：

，共个，依据多项式乘法，直接写出各项．

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：

（1）

项数：项；

（2）

指数：字母，的指数和为，字母的指数由递减至0，同时，字母的指数由0递增至；

（3）

二项式系数：下标为，上标由递增至；

（4）

通项：指的是第r+1项，该项的二项式系数是

（5）

公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明．

三、二项式定理的应用

1．解决本节课开始提出的问题．

解：

由此可见，按年利率10％每年复利一次计算的要比年利率12％单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元．

备选例题

思考1．第三项的系数是多少？

思考2．第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？

[板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念．] 思考3．若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？

四、归纳小结

1．学生的学习体会与感悟；

2．教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母，的指数和为，的指数从递减至0同时的指数由0递增至，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现．

五、作业P121 习题10.4 2，4，5