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1.1正弦定理

一、教学内容分析：

11《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。

二、学生学习情况分析：

由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。

三、教学目标：

让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

四、教学重点与难点：

本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

五、教学过程设计：

A （一）创设情境: 问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量 点C,测得CB=435m,∠CBA=880,∠BCA=420。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题? B 435m 引出定义：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。

问题2、解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？

“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

引出课题：正弦定理

（二）新课讲授: 问题3、.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：问题4、【猜想与推广】

abc==

sinAsinBsinC880

420

C

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，

即

abc==

sinAsinBsinC问题5、在锐角三角形ABC中，如何构造、表示

“a与sinA、 b与sinB”的关系呢？

能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

如图，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题,容易得到“c与sinC、

b与sinB”的关系式。

Cab

图1 证明一：略,见教材. 证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=1abc

两边同除以abc即得：==

2sinAsinBsinCOBDA111absinCacsinBbcsinA

222c证明三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

证明四：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC由

AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j

得

j•(AC+CB)=j•AB

则j•AC+j•CB=j•AB

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A) ∴asinCcsinA

∴ac=

sinAsinCcbabc=

∴==

sinCsinBsinAsinBsinCaabcCD2R同理

=2R，＝2R sinBsinCsinAsinD同理，若过C作j垂直于CB得：

（三）理解定理：

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abcsinAsinBsinC

问题6、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？ （1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。 （2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；

sinBsinAsinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如ab。

（四）应用定理：

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；

asinB42.9sin81.8080.1(cm)；

根据正弦定理，

bsinAsin32.00asinC42.9sin66.2074.1(cm).

根据正弦定理， c0sinAsin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．

在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsinA28sin400

sinB0.8999. 因为00＜B＜1800，所以B640，或a200B116.

⑴

当B640时，

C1080A(B0)10800，(4064asinC20sin760c30(cm).

sinAsin400⑵

当B1160时，C1080A(B0)018，0(401asinC20sin240c13(cm).

sinAsin400应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

（五）课堂练习：

abck,则k为(

)

sinAsinBsinC1R(R为△ABC外接圆半径) A2R

BR

C4R

D21在△ABC中，2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(

)

A

BC等边三角形

D等腰三角形

3.已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B

解：c10,A45,C30∴B180(AC)105

000000

accsinA10sin450102

由得

a0sinAsinCsinCsin30bccsinB10sin1050620由得b20sin75205652

sinBsinCsinC4sin3004.在ABC中，b3,B60,c1,求a和A,C

0bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb23bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c22

5.ABC中，c6,A45,a2,求b和B,C

0解：accsinA6sin4503,sinCsinAsinCa22csinAac,C600或1200

csinB6sin750当C60时，B75,b31，

0sinCsin6000csinB6sin150当C120时，B15,b31

sinCsin60000b31,B750,C600或b31,B150,C1200

6.第4面1,2题

（六）课堂总结：

1）定理的表示形式：abckk0；

sinAsinBsinCsinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

abc2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

（五）课后作业：

教材练习和同步导练

（六）课后反思：1.讲的多点，引导少点。2.督促学生练习不到位