一 比较法教案和学案内容

选修4－5教学设计 第二讲 证明不等式的基本方法

《不等式的证明：比较法》教学设计

湖南省衡阳市铁一中学 刘小军

一．教学内容分析

本节课是人民教育出版社出版的数学选修教材4-5第二讲

证明不等式的基本方法中的第一课时。数学证明对于发展逻辑思维能力有着极其重要的作用，通过对证明方法的学习，可以养成言之有理、论证有据的习惯。而比较法是证明不等式的重要方法，也是后续学习其它证明方法的一个基础。

二．学情分析

学生在初中已经学习了不等式的概念，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法；在高中又学习了一元二次不等式，简单的分式不等式的解法；在本节课前，在学习不等式的性质、证明算术平均数与几何平均数的定理时，也用了比较法——但没有指出这种证明方法是比较法。这些都为学生掌握好比较好提供了好的基础，但学生对已学知识的应用意识不强；代数式的变形没有目的性，随意性较大。

三．教学目标

（一）知识与技能

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）能运用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）理解用比较法证明不等式的依据。

（二）过程与方法

（1）让学生经历比较法证明的全过程，体会“转化”的数学思想；

（2）培养学生数学抽象、数学运算等数学素养；

（三）情感、态度与价值观

（1）体会到数学源于生活，运用知识可以解决生活中的问题，从而激发学习的内在动机；

（2）在证明过程中养成良好的思维与解题习惯。

四．教学重点、难点

（一）教学重点

用比较法证明不等式，并能根据实际选择作差、作商以达到目的。

（二）教学难点

体会比较法的基本思想——借助与0或1比较大小转化的数学思想

五．教学程序

（一）创设情境、引发思考

生活中经常会出现一些比较大小、多少的问题，如年龄大小，身高体重等，这些问题可以直接进行判断。但还有一些问题，并不能直接判断，那又该如何得到其大小关系呢？

这就需要学习一种专门的判断或者说证明方法，这正是本节课我们要学习的内容：比较法！（板书课题）

让我们一起从一个生活问题开始：往糖水里再加糖，糖水会更甜。如何用数学知识来解释这个现象？（注：可用糖水的质量分数来表示糖水的甜度，质量分

选修4－5教学设计 第二讲 证明不等式的基本方法

数＝溶质的质量/溶液的质量）

首先把生活问题数学化：可设糖水共b克，其中含有a克糖(ba)，再将m克糖溶入糖水中，仍未达饱和，则糖水变得更甜。请将上述事实用一个不等式进行描述，并证明这个不等式．

（学生思考，建立不等式：已知a,b,mR，且ba，求证：ama．）

bmb师：那如何证明这个结论呢？

(二)复习回顾、追根溯源

我们知道，对两个实数a,b，如果abab0，这实质是一种转化思想，将a与b的大小关系的比较，转化为a-b与0的大小关系的比较。看似平常，其实是一种很重要的方法，我们可称之为作差比较法！

在选修2－2 推理与证明中，我们学习了类比推理。那么类比这个结论，我们可以猜想出证明不等式的方法吗？ abab0

abab0

其中a与b分别为多项式。下面，我们来解决引例中的不等式证明。

ama．

已知a,b,mR，且ba，求证：bmb（学生上台作答，教师点评，并总结证明步骤）

变式练习：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

解题方法总结：作差比较法的步骤：作差——变形（化简）——定号（差值的符号）——结论。

（三）典型例题、领会方法

例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 2222变式练习、求证：abcdacbd

2师评：此为柯西不等式，是我们第三讲要专门学习的一个不等式。

abba例2、已知a,bR,求证：abab. 师评：此题宜采用作商比较法。其依据为：当b>0时，aaab1;ab1;

bbmnnm变式练习、已知a,b是正数，且abmn0,求证：abab.. （学生分析、思考，并进行证明，然后在小组内进行讨论，最后进行班级展示；教师在开展小组合作学习时巡视，发现学生有疑难，适时启发、点拨，并在展示环节及时点评。）

(四)

总结反思、思维升华

选修4－5教学设计 第二讲 证明不等式的基本方法

1、用比较法证明不等式：作差比较法、作商比较法

2、证明步骤：（1）作差/作商；（2）变形；（3）定号；（4）结论。

拓展训练：

甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m 

n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

变式：若m = n，结果会怎样？

六．课后作业：

课本23页第1、2、3题。

七．板书设计

比较法

作差比较法的依据

例1及变式

例2及变式

作差比较法的步骤

作商比较法的依据

八．教学后记

在本教学设计的引入中，利用生活中的问题情境激起了学生的探究欲望，且最后又以生活中的有趣问题结束，有利地保持了学生学习的兴趣。例题的选择，由易到难，有层次性、有变式练习，有利于学生的理解与掌握，且及时对解题方法、步骤及注意事项进行了总结。本堂课还开展了小组合作学习，让学生的思维在合作中碰撞，让疑难在合作中解决，激发了每一个同学学习的热情，也保障了尽可能多的同学完成本堂课的学习目标。