1.3 二项式定理（通用）说课稿【一等奖】

题目

第十章排列、组台、二项式定理二项式定理

高考要求

1正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式

2会区分项的系数与项的二项式系数

3掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用

4

熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用

知识点归纳

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn

rnrr1，2，n)

2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab(r0，3．常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4 二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5．二项式系数的性质：

012nr，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成(ab)n展开式的二项式系数是Cn以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．

,n}，例当n6时，其图象mnm与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（Cn）．

Cn直线rn是图象的对称轴

2（2）增减性与最大值：

当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项n2nCn12，nCn12取得最大值

n

（3）各二项式系数和：

1∵(1x)n1CnxrrCnxxn，

rCnn

Cn012令x1，则2nCnCnCn题型讲解

例1 如果在（x+展开式中的有理项

124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×nn(n1)，，

28n(n1)n=1+，得n=8

28设第r+1r项为有理项，Tr1=C8·1·x2r163r4，则r是4的倍数，

所以r=0，4，8

有理项为T1=x4，T5=135x，T9=

256x28点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r

1例2

求式子（｜x｜+－2）3的展开式中的常数项

|x|1113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜|x||x||x|1+－2）得到常数项的情况有：

|x|①三个括号中全取－2，得（－2）3；

11②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得C13C2（－|x|2）=－12，

∴常数项为（－2）3+（－12）=－20

解法二：（|x|+11－2）3=（|x|－）6

|x||x|设第r+1项为常数项，

r则Tr1=C6·（－1）r·（1r）r·|x|6r=（－1）6·C6·|x|62r，

|x|得6－2r=0，r=3

∴T3+1=（－1）3·C36=－20

例3

⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；

⑵求（x+4－4）4的展开式中的常数项；

x⑶求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数

1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数1x4为（－1）4C6－1=14

24(2x)844(x4x4)⑵（x+－4）==，

xx4x444展开式中的常数项为C8（－1）4=1120

2·(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)3⑶方法一：原式==

x(1x)14展开式中x3的系数为C51

方法二：原展开式中x3的系数为

3333343434C33+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=…=C51

点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键

19例4

求x2展开式中x的系数

2xr解：Tr1C9x929r1r1183r1r182rr

C9xxC9x2x223939rrr211令183r9,则r3,故x的系数为:C＝－

22点评：①Cnarnrbr是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n

n

②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系1933数是C9，第4项x的系数为C9，二者并不相同

23例5

求3x32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数

r解：Tr1C1003x100r23rrC100x100r3100r22

r3依题意：100rr,Z，r为3和2的倍数，即为6的倍数，

23又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，

故系数为有理数的项共有17项

点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

例6

求x23x2展开式中x的系数

解法一：x3x214C50x5C5x525x1x2

55C54x24C52555C54xC5C50x5C51x424554故展开式中含x的项为C5xC525C5C5x24240x

故展开式中x的系数为240

解法二：x23x2r2

Tr1C5x2x5r223x

53x0r5,rN

5r要使x指数为1，只有r1才有可能，

12即T2C5x243x15xx842x664x448x224

故x的系数为152240

解法三：x3x2

425x23x2x23x2x23x2x23x2x23x2

由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四14个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C424240

点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用

2n例7

设an=1+q+q2+…+qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+Cna2+…+Cnan

（1）用q和n表示An；

（2）（理）当－3

所以an=1+q+q+…+q2n1An2n

1qn=

1q1q1q21qnn12于是An=

Cn+

Cn+…+Cn

1q1q1q=12n122nn［（C1］

n+Cn+…+Cn）－（Cnq+Cnq+…+Cnq）1q1{（2n－1）－［（1+q）n－1］} 1q1［2n－（1+q）n］

1q==（2）An2n=11qn［1－（）］

1q2因为－3

所以0<|1q

|<1

2所以limnAn2n=1

1q12n012n例8

已知Cn

CnCn2Cn22Cn2nCn729，求Cn分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n

0n1n12n22nn解：在abCnaCnabCnabCnb中

n令a1,12CnCnb2得12729

3n729n6

nn12CnC6C66

C601C6C6C626C6C6026163

012n点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2n

024135CnCnCnCnCnCn2n1

②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2

例9

已知2x2634a0a1xa2x2a3x3a4x4，

2求a0a2a4a1a3

解：

令x1时，有23aaaaa

令x1时，有23aaaaa

40123440123422∵a0a2a4a1a3

a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4

22∴

a0a2a4a1a323234411

4点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三

例10

求x2y展开式中系数最大的项

7解：设第r1项系数最大，

rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72则有，即rr

r1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C72

7!7!rr122r!7r!r1!7r1!7!7!2r2r1r1!7r1!r!7r!又0r7,rN,r5

12r8r127rr116r3

r13352故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5

点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，21中间两项Tn1，Tn1的二项式系数相等且为最大

2121小结：

nrr1在使用通项公式Tr1=Crb时，要注意：

na①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项

②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同

③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n

2证明组合恒等式常用赋值法

3二项式定理应用通常有以下几类题型：

①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题

②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数

③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和

④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式

⑤在概率等方面的应用

学生练习

91已知（1－3x）=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

A29

B49

C39

D1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9

∴已知条件中只需赋值x=－1即可

答案：B 2

2x+x）4的展开式中x3的系数是

A6

B12

C24

D48 4244解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系数为C222=24

4·答案：C 3（2x3－1x

）7的展开式中常数项是

B－14

A14

C42

D－42 解析：设（2x3－1x7r）的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－1xr7r）r=C72·（－1）r·xr3(7x)2，

当－r61+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14

2答案：A 4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A20

B219

C220

D220－1 20220解析：C120+C20+…+C20=2－1

答案：D 5已知（x－a8）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开x式中各项系数的和是

A28

B38

C1或38

D1或28

rr解析：Tr1=C8·x8r·（－ax1）r=（－a）rC8·x8－－－2r

令8－2r=0，∴r=4

4∴（－a）4C8=1120∴a=±2

当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1

当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38

答案：C 6已知（x+x3213）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）

解析：∵（x+x3213）n的展开式中各项系数和为128，

∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128

∴n=7设该二项展开式中的r+1项为

rTr1=C7（x）327r·（x13）rr=C7·x6311r6，

令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35

6答案：35 7若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________

2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11

答案：11 8（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________

r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r·（－1xrrr）=（－1）C8x83r2

令8－3r2=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C8=28

2答案：28 9若（x3+1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________

3nr解析：Tr1=Cr·（xn（x）－32）r=Crn·x93nr2

令3n－9r=0，∴2n=3r

2∴n必为3的倍数，r为偶数

6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84

答案：9 10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值

2n1n解：由题意Cnn＋Cn＋Cn=22，

10即C2n＋Cn＋Cn=22，

∴n=6∴第4项的二项式系数最大

lgx∴C3）3=20000，即x3lgx=1000

6（x∴x=10或x=1

1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11

求：（1）a1+a2+a3+…+a11；

（2）a0+a2+a4+…+a10

解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11令x=1，得

a0+a1+a2+…+a11=－26，

①

又a0=1，

所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65

（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0

②

①+②得a0+a2+…+a10=1（－26+0）=－32

2点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1

12在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项

（1）求它是第几项；（2）求a的范围

b

rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12r·（bxn）r=C12a12rbrxm－－（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项

（2）∵第5项又是系数最大的项，

484393484575∴有C12ab≥C12ab

①

C12ab≥C12ab

②

12111098412111093ab≥ab，

43232a99∵a＞0，b＞0，∴

b≥a，即≤

44ba8a89由②得≥，∴≤≤

5b45b由①得13在二项式（x+124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项

分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项

解：前三项系数为C0n，1111210Cn，C2，由已知C=C+Cn，即n2nnn244－9n+8=0，

解得n=8或n=1（舍去）

rTr1=C8（x）8－r（2x）4－rr=C8·41·x4

r23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

4135－x，T9=

x2

25683r点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－∈Z即可，而不需要43r指数4－∈N

4114求证：2<（1+）n<3（n≥2，n∈N*）

n1121n 112n证明：（1+）n=C0+C×

+C（）+…+C（）nnnnnnnn∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=

=1+1+C2n×=2+1113n+C×+…+C×

nnn23nnnn(n1)(n2)n(n1)11×+×n3n22!3!+…+1×n!n(n1)21

nn<2+11111111+++…+<2++2+3+…+n1

22222!3!4!n!11[1()n1]12=2+2=3－（）n1<3

1212显然（1+）n=1+1+C2n×所以2<（1+1n1113n+C×+…+C×>2

nnnnn2n31n）<3

n