小结教案设计

2.4

正态分布

镇宁民族中学

唐洪梅

一

学习目标

1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 二，教材重难点

1.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小. 2.会用正态分布去解决实际问题. 分析

三

教学过程

一、

设置情境，引入新课

这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？

问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？

问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？

问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？

二、合作探究，得出概念

随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 知识点一

正态曲线

[来源学科网]

1思考

函数f(x)e2(x)222的图象如图所示.试确定函数f(x)的解析式.

答案

由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为的对称轴为x＝μ，

∴μ＝72，且11＝，∴σ＝10. 2πσ102π2，由函数式可知，函数图象102π172)1(x200f(x)10e(xR).

21.正态曲线：

函数φμ，σ(x)＝1e2(x)222,x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 2.正态曲线的性质：

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

1(3)曲线在x＝μ处达到峰值；

σ2π(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：

知识点二

正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a

知识点三

3σ原则

1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

类型一

正态曲线的图象的应用

三、

典型例题

在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100)。

（1）

试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2）

若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？

解析：正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解：因为

N(90,100)，所以

=90，

=10。

（1）

由于正态变量在区间(2,2)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中，

29021070,290210110，于是考试成绩位于区间（70,110）内的概率就是0.9544。

（2）

由=90，

=10，得80,100。由于正态变量在区间(,)内取值的概率是0.6826,所以考试成绩位于区间（80,100）内的概率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有20000.68261365人。

点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)，(2,2)，(3,3)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个. 变式训练1.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X约应有57人的分数在下列哪个区间内？（

）

N(110,25),据此估计，大

5

C.(100,125]

D.(105,115]

A.(90,110]

B.(95,12答案C 四、反馈测评

1．

给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）f(x)121ex22,x(,)

（２）f(x)22e(x1)28,x(,)

22(x1)2e,x(,)

（３）f(x)22.若随机变量N(2,4),则在区间(4,2]上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的概率（

）

A.(2,4]

B.(0,2

]

C.(2,0]

D.(4,4]

3．若随机变量服从正态分布N(0,1)，则在区间(3,3]上取值的概率等于（

）

A.0.6826

B.0.9544

C.0.9974

D.0.3174 4.若一个正态总体落在区间(0.2,)里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f（x）

在x=

时，达到最高点。

答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

2.C

3.C

4. 0.2

2跟踪训练1

设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(

)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 答案

C 解析

由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，

∴P(Y≥μ2)

P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，

而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，

∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错. 五、课堂小结

利用正态分布求概率的两个方法

(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：

①P(X

②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解. 六

作业