1.3 二项式定理（通用）特级教师教学实录

《二项式定理》通用

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教材分析

现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力。二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。

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教学目标

【知识与能力目标】

进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

【过程与方法目标】

能解决二项展开式有关的简单问题。

【情感态度价值观目标】

教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

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教学重难点

【教学重点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用。

【教学难点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用。

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课前准备

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预习任务

预习自测

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教学过程

（一）课前设计

1.预习任务（阅读教材完成）

n1.二项式定理：（ab） ；

n2.(1)的二项展开式中共有 项；

（ab） (2)二项式系数： ；

(3)二项展开式的通项公式：Tr1 ，它是展开式的第 项. 2．预习自测

91.二项式(x)的展开式的第3项是( ) 33551xA．－84x B．84x C．－36x D．36x

解：D 2．(1＋x)的展开式中x的系数是( ) A．42 B．35 C．28 D．21 解：D 63．在(x)的二项展开式中，常数项等于________．

722x解：－160 （二）课堂设计

1．知识回顾

(1)(2)(3)2．问题探究

问题探究一

探究归纳，形成二项式定理

●活动一

回顾旧知，回忆展开式

(a+b)=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？

思考：ab是怎样来的？有多少个？

引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)=C4a+C4ab+C4ab+C4ab+C4b

●活动二

大胆猜想(a+b)展开式中的各项是什么？

归纳：一般对于任意的正整数n,有：

(a+b)=Cna+Cnab+…+Cnab…+Cnb (n∈N) 并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)的二项展开式.各项nn0n1n-1rn-rrnn*n40413222334434；

系数Cn（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的Cnab叫做二项展开式的通项.记做：Tr+1=Cnab. 上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用

数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.

问题探究二 利用二项式定理能解决问题？

1.求二项式的指定项或其系数

例1.（1）(1＋x)的展开式中x的系数是( ) A．42 B．35 C．28 D．21 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)的展开式中x的系数等于C7×1＝21. （2）在(2x－2722572rn-rrrrn-rr15)的二项展开式中，x的系数为( )

xA．10 B．－10 C．40 D．－40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：D.(2x－3r＝1得，

3r＝3，∴T4＝C52(－1)x＝－40x.∴x的系数是－40. 232151r25－rr10－3 rrr5－r)的展开式的通项为Tr＋1＝C5 (2x)(－)＝C52(－1)x，令10-xx6例2.（1）在(x)的二项展开式中，常数项等于________．

2x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：-160.由通项公式得Tr＋1＝C6x36－r2r6－2r()r＝(－2)rC6x，令6－2r＝0，解得r＝3，所x3以是第4项为常数项，T4＝(－2)C6＝－160. 8(2)已知(x)展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是ax( ) A．2 B．3 C．1或3 D．1或2

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

4解：选C 由题意知C8·(－a)＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(148 888－a)＝1或3. 例3.(1) 在(x－2)(2＋y)的展开式中xy的系数为________．

543288【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：480 (x－2)的展开式的通项为Tr＋1＝C5x5325－r(－2)，

4r2r令5－r＝3得r＝2，得x的系数C5(－2)＝40；(2＋y)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C4(2)4－rr2y，令r ＝2得y的系数C4(2)＝12，于是展开式中xy的系数为40×12＝480. 22324(2)

在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x的项的系数是________．

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：－15.从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x项，即－5x－4x－3x－2x－x，所以x项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结

【知识梳理】

二项式定理及其通项公式

1.二项式定理：n2.(1)的二项展开式中共有（ab）4444444

项；

；

. (2)二项式系数： (3)二项展开式的通项公式：【重难点突破】

常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4．随堂检测

261.(x)的展开式中x的系数为________(用数字作答)．

31x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

26r解：20.由(x)的展开式的通项为Tr＋1＝C6(x)1x26－rrr·()＝C6x1x12－3r，令12－3r＝3，3得r＝3，所以展开式中x的系数为C6＝20. 32.(a＋x)的展开式中x的系数等于8，则实数a＝________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：2.(a＋x)的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C4a44－rr433x，令r＝3，得含x3的系数为C4a，故3a＝8，解得a＝2. C4n3.若二项式(x)的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( ) 2x

A．6 B．10 C．12 D．15 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选C Tr1C(x)以n＝12. 64．(1＋x＋x)(x)的展开式中的常数项为________．

2rnnrn3r2rn3r*rr()(2)Cnx2，当r＝4时，＝0，又n∈N，所2x1x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

6r解：－5.解析：(x)的展开式的通项为Tr＋1＝C6(－1)x－2－21xr6－2r3，当r＝3时，T4＝－C6＝4－20，当r＝4时，T5＝C6x＝15x，因此常数项为－20＋15＝－5. （三）课后作业

基础型

自主突破

1.二项式(xy)的展开式中,含xy的项的系数是_________.(用数字作答) 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：10 解析Tr+1=C5xy(r=0,1,2,3,4,5),由题意知5-rr5235r223,∴含xy的系数为r33C510. 2.(2x-16)的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答) x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：-160 (2x-161rr6rr6r)的展开式项公式是Tr1C6(2x)()C62(1)rx3r.xx33由题意知3r0,r3,所以二项展开式中的常数项为T4C32(1)160. 63.在(x16)的二项展开式中,常数项等于_________. x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r6rr解：-20 展开式通项Tr1(1)rC6xx(1)rC6rx62r,令6-2r=0,得r=3, 故常数项3为C620.

a4.设常数aR.若x2的二项展开式中x7项的系数为-10,则a_______. x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r1解：2

Tr1C5a10a2. (x2)5r()r,2(5r)r7r1,故C55ax5.(ax)展开式中x2的系数为10, 则实数a的值为__________. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

k5-kk解：1 (ax)展开式中第k项为T5k=C5ax,令k=2,x2的系数为C52a3=10,解得55a=1. 6.(x18)的展开式中x2的系数为____. 2x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

1811)展开式的通项公式为Tr1C8rx8r()rC8r()rx82r,2x2x2313令82r2r3,故所求x2的系数为C8()7. 27

根据已知条件可得(x解：能力型

师生共研

7．在二项式(x－2154)的展开式中，含x的项的系数是( ) xA．－10 B．10 C．－5 D．5 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：B 8．(2x－3110)的展开式中的常数项是( ) 22x1051 C. D．－105 24A．210 B.【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：B 9．(x－2y)的展开式中xy项的系数是( ) 1064A．840 B．－840 C．210 D．－210 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 10．二项式(52＋77)展开式中的整数项是( ) 24A．第15项 B．第14项 C．第13项 D．第12项

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 探究型

多维突破

11．(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是( ) A．－6 B．－3 C．0 D．3 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 12．(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A．－40 B．－20 C．20 D．40 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：D 自助餐

1．二项式(11622)的展开式的第3项的值是( ) A.332 B.364 C.1564 D.516

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选C 二项式(11)6的展开式的第3项是C2141215226(2)(2)64.

2.在二项式的展开式中,含的项的系数是（ ）

A.5 B.10 C.-5 D.-10 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：选B 3.若的展开式中的系数是,则实数的值是（ ）

A． B． C． D．2 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：D 4.的展开式中常数项是（ ）

A．-160 B．-20 C．20 D．160 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：A 5.在A．10 B．15 C．20 D．25 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：C 2n6.若二项式(3x)的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) 的展开式中,含的系数是（ ）

1x3344A．－27C9 B．27C9 C．－9C9 D．9C9

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：选B 各项系数之和为(3－1)＝2＝512，故n＝9，展开式的通项是Tr＋1＝C9(3x)nn29－r1()r＝(－1)r×39－r×C9rx18－3r.令18－3r＝0，则r＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×x3. C96＝27C97.(-)的展开式中8的系数为,则的值为_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：1或-1 8．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N)的展开式中一次项系数为_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：1＋2＋3＋…＋n＝2*n(n1)2＝Cn1. 2549．在二项式(x＋x＋1)(x－1)的展开式中，含x项的系数是_______.

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

解：∵(x＋x＋1)(x－1)＝x－1，∴原式可化为(x－1)(x－1).故展开式中，含x项的系数为

330(－1)－C4＝－4－1＝－5. C42334410.求(x12x)8的展开式中常数项. 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

r解：二项展开式的通项Tr1C8(x)8r(1)rC8r()rx4r，当4－r＝0时，r＝4，所22x144以展开式中的常数项为C8()521235.

811．(a＋x)展开式中x的系数为10，求实数a的值．

【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

2解：由二项展开式的通项公式可得，T3＝C5ax＝10x，解得a＝1. 322解：1 n12．若(x)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求该展开式中1x1的系数. 2x【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】

826解：56.由Cn可知n＝8，所以(x)的展开式的通项公式为Cn1x115＝56. Tr1C8r(x)8r()rC8rx82r, 所以8－2r＝－2，解得r＝5.所以2的系数为C8xx

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教学反思

略。