3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学实录

复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体。

教学过程：

一. 知识回顾

复数代数形式的加法与减法运算：(abi)(cdi)(ac)(bd)i,(a,b,c,dR)

即实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）

二.讲授新课

1.复数代数形式的乘法运算

①乘法运算法则：设z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)，则z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi2(acbd)(adbc)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ②复数乘法的运算律

对任意z1，z2，z3C，有：（1）交换律：z1z2z2z1

（2）结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)

（3）乘法对加法的结合律：z1(z2z3)z1z2z1z3

③微体验

已知i是虚数单位，则(12i)(23i) . 【解析】因为(12i)(23i)23i4i6i8i

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2.共轭复数：如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z的共轭复数用z表示，即zabi(a,bR)，则zabi. 思考：互为共轭复数的两个复数相乘会是什么结果？

【解析】设复数zabi(a,bR)，则zabi

此时，zz(abi)(abi)a2abiabi(bi)2a2b2

即互为共轭复数的两个复数相乘得到的一定是一个实数. 微体验：

若x2yi和xi互为共轭复数，则实数x ，y . x23xx1【解析】由题意可得，. y1y13.复数代数形式的除法运算

①除法运算法则：设z1abi，z2cdi(a,b,c,dR)，则z1abi(abi)(cdi)acadibcibdi2acbdbcad22i(cdi0). 2222z2cdi(cdi)(cdi)cdcdcd复数的除法就是实现分母实数化！

②微体验

已知i是虚数单位，则复数7i . 3i【解析】7i(7i)(3i)2010i2i

3i(3i)(3i)10二.课堂练习

类型1 复数代数形式的乘除运算

1.设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（ A ）

A.3

B.2

C.2

D.3

2.已知复数z，满足(z1)i1i，则z（ C ）

A.2i

B.2i

C.2i

D.2i

【解析】两种途径：①先将括号展开，再进行运算；②先将等式两边同时除以i，再通过化简运算得

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出结果. 3.计算：(i2)(i1)1i

(1i)(1i)i【解析】两种途径：①将分子与分母分别去括号，再利用复数代数形式的除法运算进行求解；②将分子化简后，通过观察，可发现分子分母中同时含有i2，于是通过约分得到结果. 类型2 共轭复数及其应用

已知复数z满足zz2iz42i，求复数z. 【分析】解此类题，就类似于求函数解析式中的待定系数法，也就是先设复数zxyi(x,yR)，则zxyi，从而进行下一步运算. 【解】设zxyi(x,yR)，则zxyi

由题意，得(xyi)(xyi)2i(xyi)(x2y22y)2xi42i，

x2y22y4x1x1，解得或，

y3y12x2z13i或z1i. 四.课堂小结

1.复数代数形式的乘法运算：类似于多项式的展开，利用i1化简；

2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数；

3.复数代数形式的除法运算：分子分母同时乘以分母的共轭复数，实现分母实数化.

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