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第9课时等比数列的概念和通项公式

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学习要求

1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，

2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法, 3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）a

n1注:1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q

｛aan1n｝成等比数列a=q（nN,qn≠0）

2

隐含：任一项an0且q0

3 q= 1时，{an}为常数列. 2.等比数列的通项公式

①

anan11q(a1q0)

②anmnamq(a1q0)

3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且

G2ac

5．证明数列{an}为等比数列：

①定义：证明an1a=常数，

n②中项性质：a2n1anan2或an1ana2；

nan1【精典范例】

【例1】判断下列数列是否为等比数列：

（１）１，１，１，１，１；

听课随笔

（２）０，１，２，４，８；

（３）1，12，14，18，116. 【解】

（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．

（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．

（３）所给数列是首项为１，公比为12的等比数列．

【例2】求出下列等比数列中的未知项：

（１）２，ａ，８；

（２）－４，ｂ，ｃ，12．

【解】

（１）

根据题意，得

所以ａ＝４或ａ＝－４．

（２）

根据题意，得

解得

所以ｂ＝２，ｃ＝－１．

【例3】在等比数列{an}中，

（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；

（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．

【解】

（１）由等比数列的通项公式，得

（２）设等比数列的公比为ｑ，那么

所以

【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．

【解】设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意知243，a2，a3，a4，3成等比数列．

设公比为ｑ，则

因此，所求三个数为８１，２７，９，

或－８１，２７，－９．

追踪训练一

1.

求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：

（1）２，６，１８，５４，…；

（2）7，1428563，9，27,;

（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；

（4）5，5c1

，52c1，53c1,. 【答案】

(1) q3,a5162,an23n1

(2) q2,a1122n13581,an7(3)

(3) q0.3,a50.00243,an(1)n10.3n

(4) q5c,a4c!ncc155,an5

2.

数列m,m,m,…m, ( C

) A. 一定是等比数列

B.既是等差数列又是等比数列

C.一定是等差数列不一定是等比数列

D.既不是等差数列，又不是等比数列

3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{aan+an+1},{an+1－an}，{na}{nan}这四n1个数列中，是等比数列的有(C

) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【选修延伸】

【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】设这三个数分别为ad,a,ad

(ad)a(ad)15 解得a5 这三个数为5d,5,5d

故由题意又可得(53)2(5d1)(5d9) 解得d2或d10(舍去)

这三个数为3，5，7 【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.

【证明】

由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5 a1)5n1听课随笔

a103(n3n5＝1000 n10∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列. 【点评】

若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.

追踪训练二

1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D

) A.48

B.72

C.144

D.192

2．在等比数列中，已知首项为918，末项为3,公比为23，则项数n等于___4___.

3．已知等比数列{an}的公比q=－13,则a1a3a5a7aa=___－3___.

24a6a84．已知数列｛an｝为等比数列，

(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，

求a3＋a5. (2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 【解】

(1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a212q8＝25 即a12q4(1＋q)2＝25 ∴a1q2(1＋q2)＝5

因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5 (2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知aq21a1qa17a33

1q8

即a1(1qq2)7

①

a

1q2②

①÷②得1qq2q72即2q2－5q＋2＝0【师生互动】q＝2或q＝1

2

学生质疑当q＝2

时，

a1＝1

∴an＝2n－1当q＝12时，a1＝4

∴an＝23－n

教师释疑