复习参考题教学设计第二课时

课题: §3.4基本不等式ab第1课时

ab

2授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab【教学难点】

基本不等式ab【教学过程】

ab的证明过程；

2ab等号成立条件

2ab的几何背景：

21.课题导入

基本不等式ab如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab。

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

ab2ab(ab)

当222ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以，(ab)20，即(a2b2)2ab.

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式abab

2特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，

ab(a>0,b>0)

2ab

2）从不等式的性质推导基本不等式ab

2通常我们把上式写作：ab用分析法证明：

要证 abab (1) 22只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式abab的几何意义

2ab的几何解释吗？

2探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab. 这个圆的半径为2ababab，其中当且仅，显然，它大于或等于CD，即22ab几何意义是“半径不小于半弦”

2当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式ab评述：1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)yx≥2；

xy3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：果. 解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2ab＞0 abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结2b＋c≥2bc＞0 c＋a≥2ac＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结

22

本节课，我们学习了重要不等式a＋b≥2ab；两正数a、b的算术平均数（几何平均数（ab）及它们的关系（ab），2ab≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问ab2a2b2题：ab≤，ab≤（）. 22

5.作业课本第113页习题[A]组的第1题