小结公开课教案（教学设计）

ab3.4基本不等式：ab

2ab——人教版高中数学(必修5) 3.4基本不等式：ab第二课时

2信宜市信宜中学 董倍源

一、教材分析：

本节内容选自人教A版高中《数学》必修5第三章第四节，本节内容应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.

基本不等式是不等中一个比较重要的结论，基本不等式及由其推导出的几个重要结论也常用于证明不等式、求最值、用于解决实际问题等.

虽然基本不等式及其推论可以解决的问题也可以用函数等其它方法解决，但基本不等式有其在解决问题运算简捷、过程简洁等优势．从近几年高考试题看，基本不等既有单独在选择填空里的考查，也有渗透到其它内容里的考查.

二、学情分析：

本节课面向的是高中二年级文科重点班的学生，接受能力不是非常好，而且学生自主探究、相互交流讨论的热情不高，需要教师指引、鼓励.《基本不等式》第一课时师生已从不同角度探索基本不等式证明过程并让学生体验了基本不等式在证明不等式中的作用，本节课主要探讨基本不等在求最值中的应用及领会基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）在求解最值中的作用. 三、设计理念：

本节课由始至终都以课本两道练习题作为教学典例然后进行变式教学，引出用基本不等式求最值的功能以及说明等号成立时的三个限制条件，遇条件不符问题如何变形或另觅他法，整个教学过程为他们提供自主探究、合作交流的机会，实现共同探究、教学相长的教学情境，所有问题的解决展示师生思维过程，培养学生探索、转化、解决问题的能力．

四、教学重难点：

ab(a,bR)成立时的三教学重点：用基本不等式求最值及领会基本不等式ab2个限制条件（简称一正、二定、三相等）在求解最值中的作用. 教学难点：把问题变形转化成为能用基本不等式解决或另寻他法解决．

五、教学目标：

1．知识与技能：

使学生掌握用基本不等求最值及领会基本不等式abab(a,bR成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）在求解最)2值中的作用. 2．过程与方法：

通过问题的变式训练，展示师生思维过程，培养学生探索、转化、解决问题的能力．

3．情感，态度与价值观：

通过独立思考探究、同学间讨论交流，培养独立思考能力及团队协作精神．

六、教学方法：

1

1．教法选择：采用“设置问题，问题变式、探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学模式，主要运用启发式、探究式教学方法，以启发、引导为主，采用设疑的方式逐步让学生进行探究式学习．

2．学法指导：“学之道在于悟，教之道在于度．”学生是学习的主体，在整个教学过程中将充分发挥学生的主体性．让学生经历分析、思考、归纳的过程，再通过对比、应用，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力．而在这一过程中，师生交流、生生交流，从而形成民主、和谐、互动的气氛．

七、教学过程

教学环节

教学过程

一）

知识回顾：

过程：提问集体，共同完成.

设计意图

教学重要的是为了“唤醒”，因为此内容学生们通过不同角度进行了证明、认识，所以让学生回忆即可直接用于求最值并让他们体会“一

正、二定、三相等”在求最值中的应用. 知识回顾

不等式

不等式成立等号成立的条件

的条件

重要不等式：________________

基本不等式：________________ 概

念

构

建

基本不等式两边平方后可得：______________.

例1（课本P100习题A组第1题）

（1）把36写成两个正数a，b的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

过程：教师引导，教师示范板演.

小结：若a，b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥_________，等号当且仅当________时成立. (简记：积定和最小) 过程：单独提问一位同学总结.

（2）把18写成两个正数a，b的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

过程：教师引导，提问集体，共同完成.

小结：若a，b为正实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤_________，等号当且仅当________时成立. (简记：和定积最大)

过程：教师引导，提问一位同学类比总结. 2

由课本习题作为典例求最值，让学生体会为什么那个结果是最小值或最大值，然后由特殊到一般（由特殊的数改为字母然后得出一般性结论），让学生体会、归纳.

例

题

变

式

例2（课本Ｐ100练习题第1题）若x>0,当x取什么值，

x1的值最小？最小值是多少？

x

由课本练习题作为例题演示(师生共同完过程：师生共同完成，教师板演. 变式训练1、若x<0, x成)，让学生体验用基本1有最_______值，此此x不等式求最值的全过程，规范书写，条件完x=_______. 过程：单独提问一位同学回答，包括思考过程，展示备. 然后给出四个变式其思考过程. 训练，让学生通过问题

解题方法前后进行对1变式训练2、求函数yx的值域. 比，提高学生自主探究、x总结归纳问题的能力，过程：教师引导，结合例2和变式训练1师生共同完让学生更好理解、领会成.教师引导还可用函数法. 利用基本不等式求最值1x的值最小？时“一正、二定、三相变式训练3、若x2,当x取什么值，x等”在求最值中的应用，最小值是多少？

过程：单独提问一位同学回答，包括思考过程，展示也让学生学会处理不满其思考过程.教师引导等号不成立需另觅他法. 足以上三条件的问题.

采用提问的方式，1变式训练4、若x2,当x取什么值，x的值x2通过归纳总结，反思深最小？最小值是多少？

过程：师生共同完成，教师设疑直接应用基本不等式出现非定值怎么处理？

例3、若0x1,求x(1x)的最大值. 化学生对基础概念、基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力．除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可过程：师生共同完成，教师引导观察和的值是？和为切实提高学生分析问定值积有最____值？

题、解决问题的能力，

并让学生养成良好的学1变式训练、若0x,求x(13x)的最大值. 习数学的方法和习惯．

3过程：教师设疑和非定值，然后单独提问一位同学，展示其思考过程，然后教师点评，师生总结.

3

例

题

变

式

14例4、已知x0,y0,1,求xy的最小值. xy

此例题涉及到“1”过程：教师发现学生的典型错误：两次用基本不等式的代换应用，变式为高但等号不能同时成立，让不同意见的同学去发现其错考题改编题，用其激发误，然后师生总结，展示正确解法.

学生学习热情。同时也

介绍“1”无处不在，在变式：（2010·浙江高考改编) 若正实数x,y满足其它地方还会有很多运y4xxy,求xy的最小值．

用，引发学生后续的学习兴趣.

小

结

作

业

选

做

巩

固

提

升

过程：此题为例4条件的一简单变形，让学生发现然后独立完成.

三）课堂小结、作业布置：

（2）利用基本不等式求最值需满足的三个条件______________________________________.

（2）

（3）

遇如下情况如何处理？

一不正：_____________________

二不定：______________________

三不等：____________________.

作业：课本Ｐ100练习题第2、3题

四）思考提升训练：

x27x10(x1)的最小值. 1、求函数yx1

由学生自主总结本节所学内容有回顾遇到不满足条件问题时自己该如何另觅他法解决.

作业深化学生对概念的理解，强化学生对概念的应用，起到培养学生自学能力的作用．

思考提升训练作为1［，2］2、在区间上，函数f(x)x2bxc(b,cR)与课后思考练习（属于选2做题），选做题充分兼顾x2x1g(x)在同一点取得相同的最小值，求学有余力的同学有更好x的发展空间．

1［，2］f(x)在区间上的最大值. 2

4

八、板书设计：

3.4基本不等式（2）

例题1 (1)

小结：

(2)

小结：

例2

变式1

变式2

变式3

变式4

例3

变式

例4

变式

abab

2a2b2ab

2ab2ab()

2注明基本不等式及其重要

结论成立的条件.

九、教学反思

教学设计由例1入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针求最值应用到例2的解决，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后设置4个变式问题，让学生理解“一正二定三等”六字方针的内涵。例3、例4同样设置变式训练，并辅以高考题型。例4需用到拼凑、“1”的代换或图像法（图像法简单提及），体现出不等式与函数的关联，说明函数在高中数学的重要性，讲这两种方法考察学生对知识的灵活变化以及对数形结合思想的应用。整个教学过程边训练边让学生小结解题的一般方法和思路，展示教师、学生的思维过程，以达到升华提高的目的。本节课的变式训练让学生的思考层层深入，一步一步揭开用基本不等式求最值的神秘面纱，而且所有教学过程及时捕捉学生的闪光点及典型错误，及时呈现及时演示或纠正，所有的同行对此赞赏有加。

当然本节课尚有不少不足之处：如刚上课时略显紧张，例题分析时不够深入，由于担心时间不够，有些问题总是欲言又止，一些问题没有得到很好的拓展，学生思考时间不够导致学生自主总结、思维训练量不足等。在今后的教学中，我要多总结，多反思，切实有效地提高自己课堂教学效果，提高自己的教学水平。

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