二 综合法与分析法名师教学实录

2.2.1直接证明--综合法与分析法

米脂中学 姬海元

教学目标

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

2．通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；

3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：分析法和综合法的思考过程； 教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点．

教学过程

一、情景引入，激发兴趣

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

二、探究新知，揭示概念

探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

证明:因为b2c22bc,a0，

所以a(b2c2)2abc。

因为c2a22ac,b0，

所以b(c2a2)2abc。

因此

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……

直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。Ziyuanku.com 例如：基本不等式 要证

abab，

2abab

（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

2只需证

ab2ab，

只需证

ab2ab0，

只需证

(ab)20

由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

三、分析归纳，抽象概括

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

分析法可表示为：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的特点是：执果索因.

四、知识应用，深化理解

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2ac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ② 由①②

，得 B=3． ③

由a, b，c成等比数列，有 b2ac． ④

由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac． 再由④，得 a2c2acac．

即 (ac)20， 因此 ac．

从而 A=C．

由②③⑤，得

A=B=C=所以△ABC为等边三角形．

3．

注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2、求证3725。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为37和25都是正数，所以为了证明

3725，

只需明 (37)2(25)2，

展开得 1022120，

只需证中·华.资*源%库 ziyuanku.com 中/华-资*源%库

215，

因为2125成立，所以

(37)2(25)2 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例3已知,k2(kZ)，且

sincos2sin ①

sincossin2 ② 1tan21tan2求证：。

221tan2(1tan)分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系于是，由

①2一2×②

得4sin22sin21．把(sincos)22sincos1，4sin22sin21与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为1(cos2sin2),再与4sin22sin21比较，发现只要把21cos2sin2(cos2sin2)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．

2cos2sin2证明：因为(sincos)22sincos1，所以将

①

②

代入，可得

4sin22sin21. ③

另一方面，要证 1tan21tan2，

221tan2(1tan)sin2sin2112cos2cos

， 22sinsin12(1)cos2cos2即证 即证 cos2sin21(cos2sin2)，

2即证 12sin21(12sin2)，

2即证 4sin22sin21。

由于上式与③相同，于是问题得证。

五、课堂练习：

课本P89页

练习1、2、3 六、归纳小结

1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语. 3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用. 七、布置作业. 课本P91页 1、2、3 八、教学反思

教师要强调直接证明的两种方法——综合法和分析法的特点及证明思路，使学生在运用上述方法证明是思路清晰，不要把两种方法混淆使用。并且明白解题时通常把两种方法综合起来使用。