二 综合法与分析法教学设计及教案分析

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

课题5：不等式证明三（分析法）

当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。

例1、求证：3725

证：分析法：

综合表述：

∵370,250

∵21 < 25

只需证明：(37)2(25)2

∴215

展开得：

1022120

∴22110

即：

22110

∴1022120

∴

215

∴(37)2(25)2

即：

21 < 25（显然成立）

∴3725

∴3725

例2、设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy)

23122133证一：（分析法）所证不等式即：(x2y2)3(x3y3)2

即：x6y63x2y2(x2y2)x6y62x3y3

即：3x2y2(x2y2)2x3y3

只需证：x2y2xy

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

- 1 -

23

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

∵x2y22xyxy成立

∴

(xy)(xy)

2312213323证二：（综合法）∵(x2y2)3x6y63x2y2(x2y2)x6y66x3y3

x6y62x3y3(x3y3)2

∵x > 0，y > 0，

∴(xy)(xy)

23122133例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤

0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0

∴(a + b + c)2 = 0

a2b2c2

展开得：abbcca

2

∴ab + bc + ca ≤

0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤

0

∵a + b + c = 0

故只需证

ab + bc + ca ≤

(a + b + c)2

即证：a2b2c2abbcca0

即：[(ab)2(bc)2(ca)2]0

（显然）

∴原式成立

证三：∵a + b + c = 0

∴

c = a + b

(a + b)2 = a2

b2

12∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ab

b23b2]0

= [(a)24a2b222，并求等号成立的条件。

例4、已知ab0,ab1，求证：ab分析：不等式右边是常数，能否用平均值定理？应当可以。（找条件一正、二定、三相等）

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

- 2 -

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

如何把左边变形为和的形式？多项式的除法或配凑！

a2b2(ab)22ab2ab(ab)左==（看到了希望！）

ababab

=ab

22

2

（已知ab1）

ab1a(62)(ab)2222当ab时，由解出当时等号成立。

1abab1b(62)2例5、a>0,b>0,且a +b =1,求证:a证明: a11b≤2. 22111111b≤2 (a +)+(b +)+2·ab≤4 222222121ab13≤1 ab +≤≤1  ab +2442 ab1ab≤

14∵a>0,b>0,且a +b =1,∴ab≤(a11b≤2. 22作业补充题

ab21)=成立，故

241.求证:67225. 2、若a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c2>ab ；（2）c -c2ab

3、求证:a,b,c∈R+,求证: 2(ababc3ab)3(abc)

234、设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S

5、已知0 <

< ，证明：2sin2cot

2

6、求证：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

- 3 -

高考资源网（ks5u.com）

您身边的高考专家

那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

- 4 -