小结教学活动设计方案

章末优化总结

授课提示：对应学生用书第51页

导引体验

专题一

回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出两个变量的散点图，然后利用常见的函数模型去拟合样本点，拟合的效果如何借助于相关指数去分析(或利用残差图去分析)．

[例1]

一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：

转速x/(转/秒)

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

16

11

14

9

12

8

8

5 (1)已知y与x有线性相关关系，写出线性回归方程；

(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度需控制在什么范围内？

[解析]

(1)x＝12.5，y＝8.25，

xiyi＝438，

x2i＝660. i＝1i＝144

^∴b＝i＝1

44－－xiyi－4xy^≈0.728 6，a＝－0.857 5，

2



x2i－4xi＝1^故线性回归方程为y＝0.728 6x－0.857 5. ^(2)由y＝0.728 6x－0.857 5≤10，

得x≤14.901 9. ∴机器的转速应控制在14.901 9转/秒以下．

达标训练

1．某商场经营一批进价是30元/件的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y件之间有如下关系

x y 35

56

40

41

45

28

50 11 (1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程；(方程的斜率保留一个有效数字) (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．

解析：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．

^^^设回归直线为y＝bx＋a，由题知x＝42.5，y＝34，

则求得

^b＝i＝1

4xi－xyi－y4i＝1

xi－x2－370＝≈－3. 125^^a＝y－bx＝34－(－3)×42.5＝161.5. ^∴y＝－3x＋161.5. (2)依题意有

P＝(－3x＋161.5)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 251.52251.5x－＝－36＋12－4 845. 2

251.5∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426. 6即预测当销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．

2．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出表中数据的散点图；

^^^(2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析：(1)由题意，作散点图如图．

3

2.5

4

3

5

4

6 4.5

(2)由表中数据，计算得，

xiyi＝66.5，

i＝14i＝1

42222x2i＝3＋4＋5＋6＝86，x＝4.5，y＝3.5，

^66.5－4×4.5×3.566.5－63b＝＝＝0.7，

86－4×4.5286－81^^a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

^所求的回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)当x＝100时，y＝100×0.7＋0.35＝70.35，

90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

即预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤．

专题二

独立性检验

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，

则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%. [典例2]

在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了56人，其中女性28人，男性28人．女性中有16人主要的休闲方式是看电视，另外12人是运动；男性中有8人主要的休闲方式是看电视，另外20人是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与休闲方式的选择有关系？

[解析]

(1)依题意得2×2列联表：

男性

女性

总计

2看电视

8

16

24

运动

20

12

32

总计

28 28 56 56×12×8－20×162(2)由2×2列联表中的数据，知K的观测值为k＝≈4.667>3.841，24×32×28×28故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为性别与休闲方式的选择有关．

3．考查小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如表：

黑穗病

无黑穗病

总计

种子灭菌

26

50

76

种子未灭菌

184

200

384

总计

210 250 460 试分析种子灭菌与小麦是否发生黑穗病是否有关．

解析：由列联表所示数据可求得K2的观测值

nad－bc2k＝

a＋bc＋da＋cb＋d460×26×200－50×1842＝≈4.804>3.841. 76×384×210×250由此可知，有95%的把握认为种子灭菌与小麦是否发生黑穗病有关系．

4．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、等高条形图、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？

解析：(1)2×2列联表：

甲在生产现场

甲不在生产现场

总计

合格品数

982

493

1 475

次品数

8

17

25

总计

990 510 1 500 由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．

(2)相应的等高条形图如图所示．

图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

1 500×982×17－493×82(3)由2×2列联表中数据，计算得到K的观测值为k＝990×510×1 475×252≈13.097>10.828，

因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．