1.3 实习作业ppt课件课堂实录

高二学业水平考试-----正弦定理、余弦定理复习教学设计

一、教学目标：

1、掌握正弦、余弦定理的内容，会运用正、余弦定理求斜三角形的边、角问题。

2、能利用正、余弦定理判断三角形的形状。

3、三角形面积定理应用。

4、正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用。

二、重点、难点

重点：利用正弦定理余弦定理解三角形 。

难点：边角关系的转化，三角恒等变换的运用。

三、数学思想与方法：

数形结合思想，方程思想，化归转化思想，分类讨论方法。

四、教学过程

（一）知识梳理

1、内角和：ABC

2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则

Aabc2R

（其中R是ABC的外接圆的半径）

sinAsinBsinC利用正弦定理可以解决以下一些问题

（1）

正弦定理中的相等的比为该三角形外接圆的直径即cbabc2R（其中R是ABC的外接圆sinAsinBsinC的半径）

BaC

正弦定理变形：a2RsinA

;b2RsinB

;c2RsinC 可以实现“边”转化为“角”。

abc

;sinB

;sinC 可以实现“角”转化为“边”。

2R2R2R a:b:csinA:sinB:sinC 大边对大角，大角对大边。

sinA边与角的互化能解决含边角关系的问题. （2）已知三角形的两角和一边，求其它边。

（3）已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边。

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则

Aabc2bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

利用余弦定理可以解决以下一些问题：

（1）已知三角形的三边，求其三个内角。可以根据余弦定理变形。

B222cbaC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA,

cosB

，cosC

2bc2ac2ab特别地：

要证明三角形中的角A为锐角，只要证明b2c2a20；

要证明三角形中的角A为钝角，只要证明b2c2a20；

要证明三角形中的角A为直角，只要证明b2c2a20；

对于其他角也有类似的结论。

（2）已知三角形的两边和它的夹角，求第三边和其他角。

4、三角形的面积公式：

（1）三角形的面积=11底高，即SABC=aha

（ha表示边a上的高）

22（2）三角形面积等于两夹边与夹角的正弦的积的一半，即

111SABC=bcsinA

,SABCacsinB ,SABCabsinC

2225、三角形中常用角的变换

sin(AB)=sin(C)sinC， cos(AB)cos(C)cosC．

sincosABCCCsin()sin()cos， 22222BCAAAcoscos()sin．

222221，则3（二）基础自测

1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a1,b2,sinAsinB的值为 。 2、在ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a2，B6，c23，则b ．

3、在ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为 。

4、在ABC中，已知abc2223ab，则C的值是（ ） A. 300 B. 600 C. 1350 D. 1500

5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2b2c20，则这个三角形一定是（ ）

A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

（三）知识迁移

题组一：利用正弦、余弦定理解三角形

1、在ABC中，已知b3，c33，B300，求角A、C和边长a

解：（1）∵333bc=，∴，

sinBsinCsin30sinCAc=33B300b=3aC∴sinC3，……1分

2∵0C180， …………2分

∴C60或120 …………4分

cb

C>B且C+B<1800 …………5分

∴C60或120 ……6分

当C60时，A=BC900，此时absinA6 …………8分

sinBbsinA3 …………11分

sinB当C120时，A=BC300 ，此时a综上所述：当C60时，a6，当C120时，a3 …………12分

小结：（1）画图，直观把题目已知条件边角关系清晰直观地呈现出来，突出数形结合思想。

（2）已知三角形两边和一边的对角，求另一角，要注意存在锐角和钝角两种情况，是否两角都可以，要进行分类讨论。

求边长a的另外方法：用余弦定理

解析：b2a2c22accosB

20 9a27233acos30…………1分

即a29a180 …………2分

解得：a3或a6…………4分

检验：当a3时，ab6c

， 此时AB30,C1803030120……7分

当a6时，cb333a，

此时，cba,A90,C60……10分

综上所述：a3,A30,C120

00或a6,A90,C60 …………12分

注：用求边b的余弦定理公式，得到关于边a的一元二次方程，突出转化化归思想和方程的思想。

002220000000、C的对边分别为a、b、c，已知C600,b6

,c3，则【变式】ABC的内角A、BA 。

【答案】75°

bc

，即bsinC【解析】由题意：sinBsinBsinCcB45

，则A180BC75.

63322

，结合bc

可得2小结：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 2、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a3,b2,cosA（1）求sinB的值；

（2）求c的值. 本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力． （1）解：∵0A，cosA1．

31，

3A

∴sinA1cosA222． ………2分

3BC

由正弦定理得：ab， ………4分

sinAsinB

∴sinBbsinAa222342. ………6分

391，

3（2）解：∵a3,b2,cosAb2c2a21. ………8分

∴2bc322c2321，

∴22c3

解得c3. ………12分

题组二： 三角形的形状的判定 1、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为（

）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【解析】∵bcosCccosBasinA，

∴sinBcosCsinCcosBsinA，

∴sin(BC)sinA，∴sinAsinA，

∵0A，∴sinA0，∴sinA1，∴A

注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解

小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法

(1)利用正、余弦定理把已知条件“化角为边”转化为“边边关系”，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件“化边为角”转化为“内角的三角函数间的关系”，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。 （3）无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制

【变式一】将上题条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(

) A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

解析

法一

由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，

即sin(A－B)＝0，

因为－π

所以A＝B. 法二

由正弦定理得2acos B＝c，

2222．

a2＋c2－b2再由余弦定理得2a·＝c ⇒ a2＝b2 ⇒ a＝b. 2ac

【变式二】若ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则ABC（ ）

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角或直角三角形

题组三： 正弦、余弦定理的综合应用 1、在ABC中，sinA3cosB．

ab（1）求角B的值；

（2）如果b2,求ABC面积的最大值。

解：（1）∵sinA3cosBab，， sinAsinBab∴sinB3cosB，…………2分

tanB3．…………3分

∵B(0,)，…………4分

∴B3．…………5分

a2c2b21． ………6分

（2）∵B，∴cosB32ac2∵b2， ∴ac4ac2ac．…………9分

∴ac4（当且仅当ac时，等号成立）．…………10分

∴SABC221acsinB3． …………11分

2∴ABC面积最大值为3．…………12分

【变式】ABC的内角A

，B

，C的对边分别为a

，b

，c，

已知2cosC(acosBbcosA)c

（1）求角C；

33，求ABC的周长。

2解：（1）2cosC(acosBbcosA)c

（2）若c7，ABC的面积为2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC …………1分

2cosCsin(AB)sinC …………2分

ABC …………3分

A2cosCsin(C)sinC

2cosCsinCsinC …………4分

Bcπ3baCC(0,)

sinC0 …………5分

1cosC

C …………6分

23（2）1331SABC=absinC

absin …………7分

2223ab6 …………8分

c2a2b22abcosC 7a2b22abcos23(ab)22ab2abcos3 …………9分 即(ab)72ab2abcos325 …………10分

解得：ab5,

…………11分

CABCabc57 …………12分

课堂小结：

1、这节课学习的内容是：

数学思想方法有：

课后加强巩固：

1、（2006年广州会考）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A3,a3,b1,则B＝（ ）

A．55 B． C． D．或

663662、(2007广州市水平测试)在ABC中, 角A,B,C的对边分别是a,b,c, 已知a2,b3, ABC的面积为1，则sinC . 3、（2014年广州会考）在ABC中，已知AB______

6，cosC3，A2C，则BC的长为34、已知ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c若ac62且A75o，则b

( ) A.2 B．

423 C．

423 D．62

5、在ABC中，A，B，C为内角，且acosAbcosB，则ABC是(

) A．等腰三角形

B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

6、在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a3,b2,cos(BC)（1）求sinB （2）求边c的值。

1

3