三 反证法与放缩法教学设计及教案分析

选修4-5反证法与放缩法

学习目标：

1、理解掌握反证法、放缩法的基本原理和思路

2、会用上述方法证明一些简单的不等式

学习重点：掌握反证法放缩法的基本原理和思路

学习难点：用反证法放缩法证明一些简单的不等式

一、回顾思考，引出新知： 例1、已知x,y0,且xy2,试证：1x1y中至少有一个小于2。

,yx分析：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可。

证：反证法，假设1x1y1x1y,2,2

都不小于2，即yxyx因为x,y0,所以1x2y,1y2x，相加得xy2，这与已知xy2,矛盾

所以原命题成立。

1、反证法

先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。

例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0， 求证：a, b, c > 0 证明：反证法，假设a,b,c不全大于0，则a,b,c中至少有一个不大于0，由题意不妨设a0

（1）若a0，则abc0与已知矛盾。

（2）若a0，因为abc0，所以bc0，又因为abc0,cba0

所以abbccaabcbc0矛盾。

同理可证b0,c0

综上所述原命题成立。

2．放缩法

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明。例如：要证ba,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)。这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是传递性。

abcd+1例3、若a, b, c, dR，求证：

abdbcacdbdac2分析：若直接同分相加会使运算非常复杂，不易达到证明的目的，分析此式的形式特点，可以通过适当放大或缩小，使不等式简化，从而得到证明。

证明：因为a,b,c,dR，

1 

所以aaabbb ，

abcdabdababcdbcaabcccddd ，

abcdcdbcdabcddacdc以上三式相加得：

abcdabcdabcd

abcdabdbcacdbdacabcdabcd2

即1abdbcacdbdac用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，例如上述过程中，如果把和式的4项分母依次缩为a,b,c,d，那么和放大为4，显然太大了。

例4、已知

a,bR，求证：

|ab||a||b|

1|ab|1|a|1|b|【证法一】左式=111|ab||a||b||a||b||a||b|≤=右式

1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|【证法二】左式

=1|a|b11|a||b||a||b|1≤=右式

1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|三、课堂小结

1、反证法、放缩法定义：

2、反证法步骤

四、当堂达标

课后习题P29习题1、2

教学反思:本节课通过实例，引导学生归纳和总结出反证法与放缩法的特点，促使学生对反证法与放缩法有较为完整的认识，然后再给出例题和习题让他们实际操作，培养了学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。但由于学生基础较差，知识遗忘严重，再加上学生本来就对证明题毫无头绪，证明格式毫无章法，所以在一定程度上影响了教学进度，使课堂上气氛比较紧张，所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。

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