1.3 二项式定理（通用）ppt课件配套教案内容

《二项式定理》教学设计

泰来一中 陈立新

一、教学内容分析： 本节课的内容是二项式定理的应用，是二项式定理的第三课时，其核心内容是二项式定理与通项公式的应用。

是高考常常考察的两种角度。学生已经学过二项式定理，本节课的内容就是在此基础上的发展，是初中多项式运算的推广，因此二项式定理的应用有着非常重要的作用。

二、教学目标、教学重点与难点

知识与技能：

1、正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式 2、熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其原理的应用 过程与方法：

培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力,体会从简单到复杂的思维方式,并形成从特殊到一般的归纳

情感态度与价值观：

在教学中体会数学之美，激发学生学号数学的信心。

教学重点：通项公式及其原理的简单应用

教学难点：二项式原理的应用，求和问题。

教学手段：多媒体辅助教学、问题化教学

课型：专题课

1

三、教学过程

（一）知识梳理

考点1 二项式定理

1．二项式定理

n1n－1kn－kknn公式(a＋b)n＝C0a＋Cab＋…＋Cb＋…＋Cnb(n∈N*)叫nnna做二项式定理．

2．二项展开式的通项

n－kkTk＋1＝Ckb为展开式的第

k＋1项．

na3．二项式系数

二项展开式中各项的系数Ck

n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．考点2 二项式系数的性质

n－m对称性—与首尾等距的两个二项式系数相等，即Cm

n＝Cn增减性—

n＋1当k<2时，二项式系数逐渐增大n＋1当k>2时，二项式系数逐渐减小

最大值—

二项式系数的和—

1rnnC0n＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝224135n－1C0＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2nnnnnn

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为2

n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. －101n(4)二项式的系数从Cn，Cn，…一直到Cnn，Cn. （二）典例探究

题型一

二项展开式中特定项或系数问题

152例1

若ax＋的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝x________. 解析

Tr＋1＝a510－r25－rrC5x

，令510－2r＝5，解之得r＝2，所以a3C25＝－80，a＝－2. 1n6的展开式中含有常数项，则当n取【变式训练1】若x＋xx最小值时，展开式的常数项等于________．

1n6r6n－r1x＋的展开式的通项为Tr＋1＝Cn(x)解析

由题意，xxxx3156n－6r－r6n－r22rrr＝Cnx

＝Cnx

，令1556n－2r＝0，得n＝4r.当r＝4时，n4取最小值5，此时展开式的常数项为C5＝5. 设计意图：引导学生掌握二项展开式的通项的应用之一，求指定项的几种小题型，求指定某一项，求常数项，求某一项的系数、求有理项、求整式项等。

题型二

二项式系数的和或各项系数的和

例2

已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A．212

B．211

C．210

D．29 解析

因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，n－m37即Cm，所以Cn＝Cn，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开n＝Cn3

1式中奇数项的二项式系数和为2×210＝29. 【变式训练2】

若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(

) A．1或－3

C．1

B．－1或3

D．－3 解析

令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－…－a9＝m9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，即(a0＋a1＋a2＋…＋a9)·(a0－a1＋a2－…－a9)＝39，即(2＋m)9·m9＝39，所以(2＋m)m＝3，解得m＝1或－3. 设计意图：通过例2让学生体会利用赋值法求系数和，奇数项系数和。在讲解中渗透求奇数项系数和的方法。让学生在思维上有一个总结的过程。

题型三

项的系数的最值问题

1x＋n例3

已知

4的展开式中前三项x的系数为等差数列．2x(1)求二项式系数最大项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解析

n2121011(1)∵Cn＝1，Cn＝，Cn2＝n(n－1)，由题设可知228n2·2＝11＋8n(n－1)，n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．

1x×4354所以二项式系数的最大项为C84＝8x. 2x(2)设第r＋1项的系数Tr＋1最大，显然Tr＋1>0，

－rTr＋1Tr＋2Tr＋1Cr·29－r8故有T≥1且≤1，∵T＝r－1－r＋1＝2r，

Tr＋1C8·2rr4

9－r由2r≥1，得r≤3. ＋1－r＋1Tr＋2Cr·28－r8－r8又∵＝＝，由≤1，得r≥2. －rTr＋1Cr·22r＋12r＋18

∴r＝2或r＝3，所求项为T3＝7x

52

和T4＝7x

. 74【变式训练3】

已知(x的二项式系数和的比为32. 232n

＋3x)的展开式中，各项系数和与它(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解析

令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n. 2n2又展开式中二项式系数和为2n.∴2n＝2n＝32，n＝5. (1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C25(x3T4＝C5(x

233226

)(3x)＝90x，

222

32323

)(3x)＝270x

. (2)设展开式中第k＋1项的系数最大，

k则由Tk＋1＝C5(x

10＋4k235－k32kkk

)(3x)＝3C5x

，

kkk－1k－13C5≥3C5，79得kk∴2≤k≤2，∴k＝4，

k＋1k＋13C5≥3C5，

即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x

226

3324

)(3x)＝405x

设计意图：通过对通项的考查深入理解二项式定理。

题型四

二项式定理的应用

命题角度1

几个多项式积的展开式问题

15＋1例4 (x－3)x2的展开式的常数项是(

) 25

A．－2

C．－3

2B．2

D．3 15－10－82－63－4＋1解析

∵(x－3)x2＝(x2－3)·(C0＋C15x5x＋C5x＋C5x4－254－25＋C5x＋C5)，∴展开式的常数项是x2·C5x－3C5＝2. 命题角度2

与整除有关的问题

例5

设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(

) A．0

C．11

B．1

D．12 02011解析

由于51＝52－1，(52－1)2012＝C2012522012－C1＋…2012522011－C2012521＋1，又由于13整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12. （三）课堂小结：

本节课通过四类例题及变式的强化让学生进一步体会二项式定理的两个应用：第一，求指定项，会写出二项式定理展开式的通项。第二，求系数和，首先于二项式系数和某一项的系数进行区分，赋值法是解决这类问题的有效手段。

6