1.3 二项式定理（通用）第二课时教案

《二项式定理》教学设计

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、学情分析：学生已经掌握了简单的排列组合问题，本节学生在探索二项式定理过程中以及对二项式定理的应用中遇到困难.

二、学习内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

三、教学目标：

1.知识与技能：

（1）会用计数原理和组合数的性质去推导和证明二项式定理，培养利用由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想去发现问题，解决问题的能力. （2）理解并掌握二项式定理，能利用二项式定理解决具体问题. 2.过程与方法： （1）通过参与和探究二项式定理的形成过程，培养观察、分析、概括的能力．

（2）以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

（1）培养自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，激励勇于自我创新，培养科学探索精神．

（2）强化新旧知识的联系，树立求真务实的勇气和信心，激发学习数学的热情. 四、教学重点、难点:

重点：二项式定理．

难点：二项式定理的探究过程.

五、教学流程图：发现问题 探索规律 总结规律 应用规律

六、教学过程: 环节

创

设

情

境

导

入

课

题

教学程序与内容

1：引入课题，确定研究目标

师：请同学们看一看，这是哪一位科学家？

生：牛顿

师：对，艾萨克·牛顿 Isaac newton (1643—1727 ，英国) 。他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家。1664年冬天，他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理。 有志者事竟成。经过勤奋学习，不久，二十二岁的牛顿发明了微分学，二十三岁时发明了积分学，为人类数学事业作出了巨大贡献。 同时，牛顿是个十分谦虚的人。曾经有人问牛顿：“你获得成功的秘诀是什么？”牛顿回答说：“假如我有一点微1 师生

互动

教师提出二项式定理由牛顿发现,调动学生的学习热情.

学生回答问题1,2

设计

意图

把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

用以前的方法探寻规律遇到困难，从而激

体

验

感

知

探

索

发

现

小成就的话，没有其它秘诀，唯有勤奋而已。”

今天就让我们追随伟人的足迹去探索发现二项式定理。

师：首先，让我们一起回忆以下两个多项式如何展开？

问题1：(ab)2?

生：(ab)2a22abb2

问题2:

(ab)3?

生：

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3师：使用同样的方法能否快速展开(a+b)

生：不能

师：猜想当初牛顿应该也遇到了同样的困惑。

师：这就需要我们使用新的方法去寻找规律。如果你是牛顿，那你应该从哪里开始寻找规律；另外，快速展开(a+b)n要解决哪些问题？请同学们分组讨论

生：从比较简单的(a+b)2，(a+b)3的展开式中寻找规律；我们要研究1：展开后有多少项。2：每一项的是什么。

师：回答得很好，无论展开的式子多复杂，最关键的是抓住：多少项，每一项的形式，以及系数这些规律。

2、多项式乘法的再认识．

问题1：(a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

2(ab)问题2：展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？合并之后各项的系数怎样形成的？

3：引导学生观察(ab)3的展开式，发现规律. 3(ab)问题：不运算，能否回答下列问题（小组讨论）：

板书：1.3.1二项式定理

10发学生去探索新的方法

通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对2(ab)n?(ab)及

(ab)3的

引导学生观察：(ab)2

，(ab)3的展开式过程，探寻规律

学生经过讨论后回答研究方向

展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数. 由学生类比得出

(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

3(ab)

(4) 从上述三个问题，你能否得出的展开式？

探究1:

①展开式有几项？展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

③填充下表，探寻规律. (ab)n

展开式项数（合并前）

2(ab)2

2=4

展开式项数（合并后）

3 单项的次数

2 单项的形式

k2kkC2ab2

体

验

感

知

探

索

发

现

3

4 3 (ab)3

2=8

C3ka3kbk

k0,1,2,3

4：类比猜想，对二项式定理形成初步认识

探究出探究2：仿照上述过程，通过发现的规律，直接写出推导二项式定理(ab)4的展开式. 之后，再加以说明，已5：归纳猜想，进一步认识二项式定理. 达到理论严师：这个规律，对于这几种种情况都成立.请大家猜想谨的目的，(a+b)n=？

从归纳猜想n再到证明，探究3：你能猜想(ab)的展开式吗？

形成完整的6：提出“二项式定理”的概念. (ab)4?探索过程，从而使学生0n1n1knkknn

并猜想

(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

对于数学的(ab)n的发展和进步7：证明二项式定理. 展开式

有一个系统师：猜想的结论不一定正确，因此必须经过证明.怎样证

的了解，引明这个结论呢？

导学生在遇

师：其实，只要说清楚两点即可.①展开式中会有哪几种类到困难时能型的项？②展开式中各项的系数是多少？

够知道如何去探索解决

先来说明第①点.(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中问题的思每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因路。

此每一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个b，最多取n个b，

因此，k=0, 1, …, n;

这就说清楚了，展开式中会有哪几种类型的项？

n-kk再来解释第②点.因为ab是从这n个(a+b)中取k个b,

kkk0,1,2

n-k个a相乘得到的,而共有Cn种取法，也就是说,有Cn种情形，相乘后可以得到an-kbk，合并同类项后，该项的系数就k是Cn，这样就得到了它的展开式.

变式： （1）(ab)?

n3

理

解

定理

巩固

概

念

由学生

学生分归纳，让学探究4：二项式定理的公式特征是什么？

组讨论探究生熟悉公1. 项数：共有n１项. 4并回答

式，加深记2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b忆.

按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knC,C,C,,C,,Cnnnnn3. 二项式系数: 依次为，这里kCn(k0,1,,n)称为二项式系数. knkkC4. 二项展开式的通项: 式中的nab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. 即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnaknkbk

学生板演例1及变式，并给出例2的解题思路

老师讲解

完成课堂练习

例1的目的熟悉二项展开式，培养学生的运算能力和逆用公式的技巧．其中思考3是让学生探究两种方法.例2考察公式的逆用

观察—类比—归纳—猜想—证特殊到一般再回到特殊明”的思维方法，是发现事物规律的重要方法。

巩固提高

实战演练

提升能力

例1： 求( 12x)6的展开式. 变式1：展开式的第展开式中含x3的项;

变式2：展开式的第6项的二项式系数是多少？

变式3：求出展开式的第6项的系数？

例2：化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.

课堂练习1：(1x)n?

2.求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4项的系数

123.求(x+a)的展开式中的倒数第4项

1.

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

2.

二项式定理的公式特征

3.

思想方法：

①从特殊到一般的思维方式. ②用计数原理分析二项式的展开过程.

巩固型作业：课本36页习题 思维拓展型作业：试求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.

课堂小结

学生总结，老师补充

课后作业

4

板书设计：

二项式定理

二项式定理：

1n1(ab)nCn0anCnabCn2an2b2CnranrbrCnnbn(nN)(ab)2

(ab)

(ab)

学生板演

43例1 方法1.直接展开

方法2.化简后展开

变式

例2 逆用定理

拓展练习1

1、

项数：n1；

2、

次数：n；

kCn3、二项式系数：

（k0,1,2,...,n），与a、b无关

4、

通项：Tk1Cab

（k0,1,2,...,n）

knn-kk

5