1.3 二项式定理（通用）教案及板书设计

第3节

二项式定理一

【教学目标】

（1）理解用组合的知识推导二项式定理；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（2）理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同；

（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （4）充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用.

【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用.

一、复习引入：

02122⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

3322303122233⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

00展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4的系数是C4；112恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，a2b2的系数2334是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b4的4系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

1.二项式定理：(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数：

00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cn种，anrbr的系数是Cn，……，

有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

nnrr11∴(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，

⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,⑷Cnarnrrn)叫二项式系数，

rnrrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

rrCnxn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)1Cnxxn

2.例题探讨：

例1．求(2x16)的展开式．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx112321[(2x)6C6(2x)5C6(2x)4C6(2x)3C6(2x)2C6(2x)1]

3x6012164x3192x2240x16023．

xxx2808178例2.（1）化简C81x

xC8x1xC82x61xC801019281010（2）若aC103C1032C10322C102，求a的值. （1）解：原式x1x1

8

（2）解：原式=32101

例3.（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

（2）求(x)的展开式中x3的系数及二项式系数

1x9解：（1）(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)280x，

333

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x∴92r3，r3，

∴x3的系数(1)C984，x3的二项式系数C984．

例4．求x1x1x1x1x1的展开式中x的系数. 234521x9r9r1()r(1)rC9rx92r，

x33301解：C21C31C421C53120

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三、课堂练习：

1．展开(1)

2.（1）求(1x4x339)的展开式常数项；x[来源:Z&xx&k.Com]

（2）求(x339)的展开式的中间两项

x1)n的展开式的第r+1项. 33.写出(x23x74.求x32x答案：

的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 41123341.解一：

(1)1C4()C4()C4()()11x1x1x1x1x4641234．

xxxx4444413123xCxCxCx1

解二：(1)()(x1)()444xxx1111

4641．

xx2x3x439rx9r3rr2r92.

解：∵Tr1C()()C93x2，3xr9[来源学#科#网]

∴（1）当936r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2x39()的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

（2）3x

T5C94389x9124215951092378x3

x3，T6C93x1rn32rr3nrr3. Tr1Cn(x)(

)Cnx32x21r3334.展开式的第4项的二项式系数C735，第4项的系数C72280

四、课后作业：P31.2，3