3.1.2 复数的几何意义名师教学视频（文字实录）

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1.2 复数的几何意义

天长二中

刘义芝

【教材分析】：

复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课引导学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模。

（2）过程与方法：

通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。

（3）情感态度与价值观：

培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

【教学重点】：

复数的几何意义，复数的向量表示以及复数模的几何意义。 【教学难点】：

复数模的几何意义。

【课前准备】：

PPT课件

【教学过程设计】：

教学环节

一、复习引入

二、情境引入

教学活动

虚数单位i：i2=-1 ；虚数单位i的引入，解决了负数不能开平方的问题，并将实数集扩充到了复数集。

实数的几何意义：实数可以用数轴上的点来表示。实数

(数) 一一对应

数轴上的点

(形) 设计意图

提出问题,激发学生学习兴趣

从实数的集合一一（用数轴上的点来表示）类比联想提出复数几何意义的问题后，让学生尝试、探索用直角坐

我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？

三、学生活动

问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数abi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一

一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？

问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、 A为终点的向量OA是一

一

对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？

标系中的点来表示复数

四、建构数学

师生共同活动：

师生共同讨论,有助于学生对复数的几何意义的理解

探究一：复数的几何意义

1．在平面直角坐标系xOy中，以复数

zabi的实部a为横坐标、虚部b为

纵坐标就确定了点Z(a,b)，我们可以用

点Z(a,b)来表示复数zabi，这就

是复数的几何意义。

2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴

叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

3．因为复平面内的点Z(a,b)与以原点Ｏ为起点、Z为终点的向量OZ一

一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ来表示复数

zabi，这也是复数的几何意义。

复数的几何意义：

用图形表示三者之4．

根据上面的讨论，我们可以得到复数zabi、复平面内的点间的关系,使学生加深印象. Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系（见下图）。今后，常把复数zabi

说成点Z或向量OZ（并且规定相等的向量表示同一个复数）。

复数

zabi

一一对应

复平面内

的点

一一对应

平面向量OZZ(a,b)一一对应

5．相对于复数的代数形式zabi，我们把点Z(a,b)称为复数z的几何形式，向量OZ称为复数z的向量形式。并且规定，相等的向量表示同一个复数。

探究二：复数的模

实数的绝对值、向量的模的几何意义是什么？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗? １、复数的模：向量的长度

复数zabi(a,bR)的模：zOZ=a2b2

２、复数的模的几何意义: 复数z的模即为z对应平面向量 的模 ,也就是复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

五、数学运用

例1:在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

2+5i， -3+2i， 5, -3i. 22例2:已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

通过例题的讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。

表示复数的点所

转化

复数的实部与虚部所满

在象限的问题

足的不等式组的问题

(几何问题)

(代数问题)

22变式1:已知复数z=(m+m-6)+(m+m-2)i在复平面内所对应的点在直线

x-2y+4=0上，求实数m的值。

变式2：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

例3:求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=1+mi(m∈R) 思考：

(1)复数的模能否比较大小？

(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？

这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

满足|z|=5 (z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？

培养学生思维的灵活性和深刻性。

巩固知识，培养技能.

回顾反思:

1.由实数用数轴上的点来表示,,类比联想到复数可用复平面上的点来表示,进而得到复数的向量形式,这是由一维到二维的联想,同时实现了从”数”到”形”的转化. 2．通过复数的几何意义的学习

,体会六、课堂小结

一. 数学知识：

(1)复数的两种几何意义

(2)复数的模及其几何意义

二. 数学思想：

(1)类比推理思想

(2)数形结合思想

(3)转化思想

数形结合的思想.复数作为一种新的数学语言,也将为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了可能.

七、作业布置

教材P55 习题 3.1 A组

T5

B组

T1 （链接高考）在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C第三象限 D第四象限

板书设计

§3.1.2复数的几何意义

1.复平面的概念

2.复数的几何意义

①复数zabi一一对应复平面内的点Z(a,b)

②复数zabi平面向量OZ；

3.复数的模

复数zabi(a,bR)的模：

一一对应4.例题讲解

例1.

例2.

例3. 引入

练习

作业布置

|z||OZ|a2b2